General Linear Differential Equation

#Math285

概述 (Overview)

这部分课程的核心是处理线性常微分方程 (Linear Ordinary Differential Equations, Linear ODE’s) 及其系统，特别是当系数可能是时变 (time-dependent) 的情况。

• 主要挑战: 对于系数依赖于时间 $t$ 的齐次线性 ODE (homogeneous linear ODE)，通常没有通用的方法来直接计算其基本解组 (fundamental system of solutions)。
• 解决方法:
  • 对于非齐次 ODE (inhomogeneous ODE)，如果我们已知对应齐次方程的基本解组，可以使用参数变易法 (variation of parameters) 来求特解 (particular solution)，进而得到通解 (general solution)。
  • 我们将首先详细讨论一阶线性 ODE 系统 (1st-order linear ODE systems)，包括解的存在性和唯一性定理 (Existence and Uniqueness Theorem) 的加强版以及解的线性代数结构 (Linear Algebra aspects)。
  • 接着，引入矩阵指数函数 (matrix exponential function) $A\to e^A$，这是一个强大的工具，用于完全解决系数不依赖于时间的齐次线性系统 $y^{\prime }=Ay$。我们可以通过矩阵函数 $t\mapsto e^{At}$ 得到解。
  • 然后，利用降阶法 (order reduction) 将高阶标量线性 ODE (higher-order scalar linear ODE) 转化为一阶系统，从而应用前面的理论。
• 二阶 ODE 重点:
  • 我们将更深入地探讨时变线性二阶 ODE。
  • 讨论 3 个经典的例子 (Legendre, Hermite, Laguerre)，它们有特殊的多项式解 (polynomial solution)。
  • 介绍一种通用方法：已知一个非零解时，如何通过降阶法找到第二个线性无关解，从而构成基本解组。
  • 最后讨论欧拉方程 (Euler equations)，这类方程在后续通过级数解法 (series solutions) 求解线性二阶 ODE 时很重要

一般线性微分方程 (General Linear Differential Equations)

一阶线性系统 (First-Order Linear Systems)

定义

一个 (可能时变的) 一阶线性 ODE 系统具有以下形式： $${\mathbf{y}}^{\prime }=A(t)\mathbf{y}+b(t)(\text{LS})$$ 其中：

• $t$ 属于某个区间 $I\subseteq \mathbb{R}$ ($I$ 不是空集或单点集)。
• $A:I\to {\mathbb{C}}^{n\times n}$, $t\mapsto A(t)=(a_{ij}(t))$ 是 $n\times n$ 的矩阵函数。
• $b:I\to {\mathbb{C}}^n$, $t\mapsto b(t)=(b_i(t))$ 是 $n$ 维向量函数。
• $A(t)$ 和 $b(t)$ 的所有分量函数在 $I$ 上都是连续的 (continuous)。
• $y:J\to {\mathbb{C}}^n$ ($J\subseteq I$ 是子区间) 是一个可微的解 (solution)，如果对于所有 $t\in J$，满足 $y^{\prime }(t)=A(t)y(t)+b(t)$。

Term:

• 如果 $b(t)\equiv 0$，系统称为齐次的 (homogeneous)。
• 否则，称为非齐次的 (inhomogeneous)。

解的存在唯一性 (Existence and Uniqueness of Solutions)

• 对于函数 $f(t,y)=A(t)y+b(t)$，如果我们把 $t$ 限制在 $I$ 的任意紧子区间 (compact subinterval)（闭合且有界）上，那么$A(t)$ 的范数 $||A(t)||$ 有界，设界为 $L$。此时，对于任意 $y_1,y_2\in {\mathbb{C}}^n$，有： $$|f(t,y_1)-f(t,y_2)|=|A(t)(y_1-y_2)|\le ||A(t)|||y_1-y_2|\le L|y_1-y_2|$$ 这表明 $f(t,y)$ 关于 $y$ 满足局部 Lipschitz 条件 (local Lipschitz condition)。因此，标准的存在唯一性定理 (Existence and Uniqueness Theorem, EUT) 适用于这类系统，保证了任何初值问题 (Initial Value Problem, IVP) $y^{\prime }=A(t)y+b(t),y(t_0)=y_0$ ($t_0\in I,y_0\in {\mathbb{C}}^n$) 至少在 $t_0$ 的一个小邻域内存在唯一的解。

• 定理 (更强的结论): 对于线性系统，IVP 的解不仅局部存在唯一，而且在整个区间 $I$ 上都存在且唯一。这与非线性情况形成对比 (例如 $y^{\prime }=y^2$, 其解 $y=1/(C-x)$ 可能在有限时间内 “爆炸” blow up)。
• 证明思路 (Proof Sketch - Picard-Lindelöf Iteration):

  1. 构造 Picard 迭代序列 (Picard-Lindelöf iterates): $y_0(t)=y_0$ (常数向量) $$y_k(t)=y_0+{\int }_{t_0}^t(A(s)y_{k-1}(s)+b(s))ds,k=1,2,3,\dots$$

  2. 在紧子区间 $J=[a,b]$ 上 ($t_0\in J$)，利用 $||A(t)||\le L$，通过数学归纳法 (mathematical induction) 证明相邻迭代项之差的范数满足： $$|y_{k+1}(t)-y_k(t)|\le K\frac{(L|t-t_0|{)}^k}{k!}$$ 其中 $K$ 是 $|y_1(t)-y_0|$ 在 $J$ 上的一个界。
  3. 这表明函数项级数 $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(y_{k+1}(t)-y_k(t))$ 的各项范数可以被收敛的数值级数 $\sum K\frac{(L(b-a){)}^k}{k!}=K{e}^{L(b-a)}$ 控制 (绝对且一致地)。
  4. 根据 Weierstrass M-判别法 (Weierstrass M-test)，函数序列 $(y_k(t))$ 在 $J$ 上一致收敛 (converges uniformly) 到一个极限函数 $y_{\mathrm{\infty }}(t)$。
  5. 由于一致收敛，极限函数 $y_{\mathrm{\infty }}(t)$ 在 $J$ 上是连续的 (continuous)，并且满足积分方程： $$y_{\mathrm{\infty }}(t)=y_0+{\int }_{t_0}^t(A(s)y_{\mathrm{\infty }}(s)+b(s))ds$$
  6. 根据微积分基本定理 (Fundamental Theorem of Calculus)，对上式求导，得到 $y_{\mathrm{\infty }}^{\prime }(t)=A(t)y_{\mathrm{\infty }}(t)+b(t)$，且 $y_{\mathrm{\infty }}(t_0)=y_0$。因此 $y_{\mathrm{\infty }}(t)$ 是 IVP 在 $J$ 上的解。
  7. 由于任何区间 $I$ 都可以被递增的紧子区间序列 $J_m=[a_m,b_m]$ (例如 $J_1\subseteq J_2\subseteq \dots$ 且 $\cup J_m=I$) 所穷尽 (exhausted)，因此解 $y_{\mathrm{\infty }}(t)$ 可以在整个 $I$ 上定义。唯一性则来自标准的 EUT 证明 (Gronwall 不等式)。
• (Slide 11) 非线性情况的区别: 对于 $y^{\prime }=y^2,y(0)=1$，Picard 迭代得到的多项式序列 ${\varphi }_k(t)$ 在 $t\ge 1$ 时发散，这与解 $y=1/(1-t)$ 在 $t=1$ 处 blow up 的行为一致。线性系统的系数 $A(t)$ 提供了足够的控制，防止了这种 blow-up。

解的线性代数结构 (The Link with Linear Algebra)

• (Slide 12) 定理: 考虑齐次系统 (homogeneous system) $y^{\prime }=A(t)y$。
  • 它的所有解构成一个向量空间 (vector space)，记为 $V$。这是因为解的线性组合仍然是解 (叠加原理 Principle of Superposition)。
  • 这个解空间 $V$ 的维数 (dimension) 是 $n$ (在 $\mathbb{C}$ 上，如果 $A(t)$ 和 $y$ 是复数的；在 $\mathbb{R}$ 上，如果 $A(t)$ 和 $y$ 是实数的)。
  • 对于 $k$ 个解 $y_1,\dots ,y_k:I\to {\mathbb{C}}^n$，以下三条等价：
    1. 函数 $y_1,\dots ,y_k$ 在函数空间 $(C^n{)}^I$ 中是线性无关的 (linearly independent)。
    2. 存在某个 $t_0\in I$，使得向量 $y_1(t_0),\dots ,y_k(t_0)$ 在 ${\mathbb{C}}^n$ 中是线性无关的。
    3. 对于所有 $t_0\in I$，向量 $y_1(t_0),\dots ,y_k(t_0)$ 在 ${\mathbb{C}}^n$ 中都是线性无关的。
• (Slide 13) 证明思路:
  • 证明 $V$ 是向量空间：已在定理中说明 (解的和、标量倍数仍是解)。
  • 证明等价性：(3) $⟹$ (2) $⟹$ (1) 是明显的。(1) $⟹$ (3) 是关键：假设函数 $y_1,\dots ,y_k$ 线性无关，但在某个 $t_0$ 时向量 $y_1(t_0),\dots ,y_k(t_0)$ 线性相关，即存在不全为零的 $c_i$ 使得 $\sum c_i{y}_i(t_0)=0$。考虑函数 $y(t)=\sum c_i{y}_i(t)$，它也是 $y^{\prime }=A(t)y$ 的解，并且 $y(t_0)=0$。同时，$y_{zero}(t)\equiv 0$ 也是一个解且 $y_{zero}(t_0)=0$。根据 EUT 的唯一性，必须有 $y(t)\equiv 0$ 在整个 $I$ 上成立，即 $\sum c_i{y}_i(t)=0$。但这与 $y_1,\dots ,y_k$ 作为函数线性无关的假设矛盾。因此 (1) $⟹$ (3) 成立。
  • 证明维数是 $n$：固定 $t_0\in I$，考虑求值映射 (evaluation map) $E_{t_0}:V\to {\mathbb{C}}^n$，定义为 $E_{t_0}(y)=y(t_0)$。
    • $E_{t_0}$ 是线性的 (因为 $y_1(t_0)+y_2(t_0)=(y_1+y_2)(t_0)$ 等)。
    • $E_{t_0}$ 是单射 (injective) (根据 (1) $⟹$ (2)，如果 $y(t_0)=0$，则 $y\equiv 0$，核空间只有零向量)。
    • $E_{t_0}$ 是满射 (surjective) (根据 EUT，对于任意 $y_0\in {\mathbb{C}}^n$，都存在解 $y\in V$ 使得 $y(t_0)=y_0$)。
    • 因此，$E_{t_0}$ 是一个向量空间同构 (vector space isomorphism)，这意味着 $\dim V=\dim {\mathbb{C}}^n=n$。
• (Slide 14) 重要概念:
  • 基本解组 (Fundamental System of Solutions): 解空间 $V$ 的一组基 (basis) $y_1,\dots ,y_n$。

  • 基础矩阵 (Fundamental Matrix) $\mathrm{\Phi }(t)$: 一个 $n\times n$ 矩阵，其列 (columns) 由一个基本解组构成，即 $\Phi(t) = [y_1(t)

    \dots

    y_n(t)]$。

  • 测试: 函数组 $y_1,\dots ,y_n$ 构成基本解组 $⟺$ 对应的矩阵 $\mathrm{\Phi }(t_0)$ 在某个 (等价于，所有) $t_0\in I$ 是可逆的 (invertible)，即 $\text{rank}(\mathrm{\Phi }(t_0))=n$ (或者 $det(\mathrm{\Phi }(t_0))\ne 0$)。
  • 基础矩阵满足矩阵形式的 ODE: $${\mathrm{\Phi }}^{\prime }(t)=A(t)\mathrm{\Phi }(t)$$ 因为 $A\mathrm{\Phi }=A[y_1|\dots |y_n]=[A{y}_1|\dots |A{y}_n]=[y_1^{\prime }|\dots |y_n^{\prime }]={\mathrm{\Phi }}^{\prime }$。
  • 齐次系统的通解 (general solution) 可以写为： $$y(t)=\mathrm{\Phi }(t)\mathbf{c}$$ 其中 $\mathbf{c}=(c_1,\dots ,c_n{)}^T\in {\mathbb{C}}^n$ 是任意常数向量。

非齐次情况 (The Inhomogeneous Case)

(Slides 15-16)

• (Slide 15) 定理 (参数变易法 Variation of Parameters):
  1. 任何非齐次线性系统 $y^{\prime }=A(t)y+b(t)$ 都是可解的 (solvable)。
  2. 一个特解 (particular solution) $y_p(t)$ 可以通过以下公式给出 (其中 $t_0\in I$ 是任意选定的起点)： $$y_p(t)=\mathrm{\Phi }(t)c(t)\text{其中}c(t)={\int }_{t_0}^t\mathrm{\Phi }(s{)}^{-1}b(s)ds$$ 这里 $\mathrm{\Phi }(t)$ 是对应齐次系统的任意一个基础矩阵。 技术比喻: 参数变易法就像是认为齐次通解 $y_h(t)=\mathrm{\Phi }(t)c$ 中的常数向量 $c$ 其实是随时间变化的 $c(t)$。我们寻找 $c(t)$ 的变化规律 (即 $c^{\prime }(t)$)，使得 $y_p(t)=\mathrm{\Phi }(t)c(t)$ 能够正好满足非齐次方程。这种变化 $c(t)$ 就“吸收”了非齐次项 $b(t)$ 的影响。
  3. 非齐次系统的通解 (general solution) 是： $$y(t)=y_p(t)+y_h(t)=\mathrm{\Phi }(t)c(t)+\mathrm{\Phi }(t)c_0=\mathrm{\Phi }(t)({\int }_{t_0}^t\mathrm{\Phi }(s{)}^{-1}b(s)ds+c_0)$$ 其中 $y_h(t)=\mathrm{\Phi }(t)c_0$ 是对应齐次系统的通解，$c_0\in {\mathbb{C}}^n$ 是任意常数向量。
  4. 常数向量 $c_0$ 由初始条件 $y(t_0)=y_0$ 决定：$y_0=\mathrm{\Phi }(t_0)c(t_0)+\mathrm{\Phi }(t_0)c_0=\mathrm{\Phi }(t_0)(0+c_0)⟹c_0=\mathrm{\Phi }(t_0{)}^{-1}{y}_0$。
• (Slide 16) 证明思路:
  • 证明 (1): 假设解的形式为 $y_p(t)=\mathrm{\Phi }(t)c(t)$。对其求导： $y_p^{\prime }={\mathrm{\Phi }}^{\prime }c+\mathrm{\Phi }{c}^{\prime }=(A\mathrm{\Phi })c+\mathrm{\Phi }{c}^{\prime }=A(\mathrm{\Phi }c)+\mathrm{\Phi }{c}^{\prime }=A{y}_p+\mathrm{\Phi }{c}^{\prime }$。 要使 $y_p^{\prime }=A{y}_p+b$，我们必须要求 $\mathrm{\Phi }{c}^{\prime }=b$，即 $c^{\prime }=\mathrm{\Phi }(t{)}^{-1}b(t)$。 由于 $A(t)$ 和 $b(t)$ 连续，$\mathrm{\Phi }(t)$ 的元素也连续可微。根据线性代数知识，$\mathrm{\Phi }(t{)}^{-1}$ 的元素可以通过 $\mathrm{\Phi }(t)$ 的元素进行加减乘除运算 (涉及伴随矩阵 Adjoint matrix 和行列式 determinant) 得到，因此 $\mathrm{\Phi }(t{)}^{-1}$ 也是连续的。 这意味着 $\mathrm{\Phi }(t{)}^{-1}b(t)$ 是连续的，根据微积分基本定理，其积分 $c(t)={\int }_{t_0}^t\mathrm{\Phi }(s{)}^{-1}b(s)ds$ 存在且可微，且 $c^{\prime }(t)=\mathrm{\Phi }(t{)}^{-1}b(t)$。这证明了 $y_p(t)$ 是一个特解。
  • 证明 (2): 如果 $y_1,y_2$ 都是非齐次系统的解，那么它们的差 $(y_1-y_2{)}^{\prime }=(A{y}_1+b)-(A{y}_2+b)=A(y_1-y_2)$，说明 $y_1-y_2$ 是齐次系统的解，即 $y_1-y_2=y_h$。因此任何解都可以表示为一个特解 $y_p$ 加上一个齐次解 $y_h$。

示例 (Example)

(Slides 17-19)

考虑系统： $y_1^{\prime }=y_1+t{y}_2+1$ $y_2^{\prime }=t{y}_1+y_2$ 即 $y^{\prime }=A(t)y+b(t)$ 其中 $A(t)=\left(\begin{array}{cc}1& t\\ t& 1\end{array}\right)$, $b(t)=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$。

1. 解齐次系统 $y^{\prime }=A(t)y$:
   • (Slide 17) 使用技巧：令 $s=y_1+y_2$, $d=y_1-y_2$。
   • 求导发现 $s^{\prime }=y_1^{\prime }+y_2^{\prime }=(y_1+t{y}_2)+(t{y}_1+y_2)=(1+t)(y_1+y_2)=(1+t)s$。
   • $d^{\prime }=y_1^{\prime }-y_2^{\prime }=(y_1+t{y}_2)-(t{y}_1+y_2)=(1-t)(y_1-y_2)=(1-t)d$。
   • 这两个是解耦的 (decoupled) 一阶线性 ODE，容易解得 $s(t)=c_1{e}^{\int (1+t)dt}=c_1{e}^{t+t^2/2}$ 和 $d(t)=c_2{e}^{\int (1-t)dt}=c_2{e}^{t-t^2/2}$。
   • (Slide 18) 反解 $y_1=(s+d)/2$, $y_2=(s-d)/2$ 得到齐次解： $y_1(t)=\frac{1}{2}(c_1{e}^{t+t^2/2}+c_2{e}^{t-t^2/2})$ $y_2(t)=\frac{1}{2}(c_1{e}^{t+t^2/2}-c_2{e}^{t-t^2/2})$
   • 可以写成矩阵形式 $y(t)=\mathrm{\Phi }(t)c^{\prime }$，其中一个基础矩阵是 (忽略常数因子 1/2): $$\mathrm{\Phi }(t)=\left(\begin{array}{cc}{e}^{t+t^2/2}& e^{t-t^2/2}\\ e^{t+t^2/2}& -e^{t-t^2/2}\end{array}\right)$$ 对应的基本解组是 $y_1(t)=e^{t+t^2/2}\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$ 和 $y_2(t)=e^{t-t^2/2}\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)$。
2. 解非齐次系统:
   • (Slide 19) 使用参数变易法，需要计算 $\mathrm{\Phi }(t{)}^{-1}b(t)$。
   • 先计算 $det(\mathrm{\Phi }(t))=-e^{t+t^2/2}{e}^{t-t^2/2}-e^{t+t^2/2}{e}^{t-t^2/2}=-2e^{2t}$。
   • $\mathrm{\Phi }(t{)}^{-1}=\frac{1}{-2e^{2t}}\left(\begin{array}{cc}-e^{t-t^2/2}& -e^{t-t^2/2}\\ -e^{t+t^2/2}& e^{t+t^2/2}\end{array}\right)=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}{e}^{-t-t^2/2}& e^{-t-t^2/2}\\ e^{-t+t^2/2}& -e^{-t+t^2/2}\end{array}\right)$。
   • $\mathrm{\Phi }(t{)}^{-1}b(t)=\mathrm{\Phi }(t{)}^{-1}\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{c}{e}^{-t-t^2/2}\\ e^{-t+t^2/2}\end{array}\right)$。
   • 计算 $c(t)={\int }_0^t\mathrm{\Phi }(s{)}^{-1}b(s)ds=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{c}{\int }_0^t{e}^{-s-s^2/2}ds\\ {\int }_0^t{e}^{-s+s^2/2}ds\end{array}\right)$ (注意这里 $t_0=0$ 被选定)。
   • 特解 $y_p(t)=\mathrm{\Phi }(t)c(t)=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}{e}^{t+t^2/2}& e^{t-t^2/2}\\ e^{t+t^2/2}& -e^{t-t^2/2}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\int }_0^t{e}^{-s-s^2/2}ds\\ {\int }_0^t{e}^{-s+s^2/2}ds\end{array}\right)$。 (展开后形式见 Slide 19)。
   • 通解为 $y(t)=y_p(t)+\mathrm{\Phi }(t)c_0$。
   • Slide 19 还提到，可以直接解耦非齐次方程 $s^{\prime }=(1+t)s+1,d^{\prime }=(1-t)d+1$，然后用 $y_p=(s_p+d_p)/2,(s_p-d_p)/2$ 得到同样结果 (可能积分形式不同，但导数相同)。

矩阵指数函数 (The Matrix Exponential Function)

(Slides 20-28)

这个工具主要用于解决常系数齐次线性系统 $y^{\prime }=Ay$，其中 $A$ 是一个常数矩阵。

定义与收敛性 (Definition & Convergence)

(Slide 20) 对于任意的矩阵指数函数所关联的级数总是收敛

• 定义: 对于 $n\times n$ 矩阵 $A$ (可以是实的或复的)，矩阵指数 (matrix exponential) 定义为幂级数： $$\exp (A):=e^A:=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k!}{A}^k=I+A+\frac{1}{2!}{A}^2+\frac{1}{3!}{A}^3+\dots$$ 其中 $A^0=I$ (单位矩阵)。
• 收敛性: 这个级数总是收敛的。
  • 证明思路：${\mathbb{C}}^{n\times n}$ 中的收敛等价于逐元素收敛 (entry-wise convergence)。

  • 设 $a = \max_{i,j}

    A_{ij}

    $。\mathrm{可}\mathrm{以}\mathrm{证}\mathrm{明}$A^k$\mathrm{的}\mathrm{每}\mathrm{个}\mathrm{元}\mathrm{素}\mathrm{的}\mathrm{绝}\mathrm{对}\mathrm{值}\mathrm{被}$n^{k-1} a^k$(\mathrm{对}\mathrm{于}$k\ge 1$) 或某个类似的界控制。

  • 因此，级数 $\sum \frac{1}{k!}{A}^k$ 的每个 $(i,j)$ 位置上的标量级数 $\sum_{k=0}^\infty \frac{(A^k){ij}}{k!}$\mathrm{的}\mathrm{各}\mathrm{项}\mathrm{绝}\mathrm{对}\mathrm{值}\mathrm{小}\mathrm{于}\mathrm{等}\mathrm{于}$\delta{ij} + \sum_{k=1}^\infty \frac{n^{k-1}a^k}{k!}$(\mathrm{或}\mathrm{者}\mathrm{用}\mathrm{范}\mathrm{数}$

    A^k

    \le

    A

    ^k$\mathrm{也}\mathrm{可}\mathrm{以})。\mathrm{这}\mathrm{个}\mathrm{级}\mathrm{数}\mathrm{收}\mathrm{敛}(\mathrm{例}\mathrm{如}，\mathrm{通}\mathrm{过}\mathrm{比}\mathrm{值}\mathrm{判}\mathrm{别}\mathrm{法}\mathrm{或}\mathrm{与}$e^{na}$\mathrm{或}$e^{

    A

  • 由于每个位置上的级数都绝对收敛，因此矩阵级数 $e^A$ 收敛。

基本性质 (Properties)

(Slides 21-23)

• (Slide 21) 关键性质: 如果两个矩阵 $A$ 和 $B$ 可交换 (commute)，即 $AB=BA$，那么 $$e^{A+B}=e^A{e}^B$$
  • 证明思路：由于级数绝对收敛，可以像处理标量指数函数那样重新排列 $e^A{e}^B=(\sum \frac{A^k}{k!})(\sum \frac{B^l}{l!})$ 的乘积项。利用 $AB=BA$，可以使用二项式定理 (Binomial Theorem) $(A+B{)}^m=\sum _{k=0}^m(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k})A^k{B}^{m-k}$，最终证明 $e^A{e}^B=\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(A+B{)}^m}{m!}=e^{A+B}$。
  • 重要: 如果 $AB\ne BA$，这个性质不成立！ (Slide 22 给出了反例)
• (Slide 22) 推论:
  • 由于 $A$ 和 $-A$ 可交换，所以 $e^A{e}^{-A}=e^{A-A}=e^0=I$。
  • 这意味着 $e^A$ 总是可逆的 (invertible)，其逆矩阵是 $(e^A{)}^{-1}=e^{-A}$。
• (Slide 23) 练习:
  • 对角矩阵 $D=\text{diag}(d_1,\dots ,d_n)$ 的指数是 $e^D=\text{diag}(e^{d_1},\dots ,e^{d_n})$。
  • $e^A$ 是对称的 (symmetric) $⟺A$ 是对称的。 ($(e^A{)}^T=\sum \frac{(A^T{)}^k}{k!}=e^{A^T}$ )
  • $e^A$ 是正交的 (orthogonal) $⟺A$ 是反对称的 (skew-symmetric) ($A^T=-A$)。 (因为 $e^A$ 正交 $⟺(e^A{)}^T(e^A)=I⟺e^{A^T}{e}^A=I⟺e^{-A}{e}^A=I$，这总是成立。但还需要 $e^{A^T}=(e^A{)}^T=(e^A{)}^{-1}=e^{-A}$，这需要 $A^T=-A$)。
  • $e^A=e^B$ 不一定意味着 $A=B$ (例如 $A=0,B=2\pi iI$ in ${\mathbb{C}}^{n\times n}$)。
  • 在实数域 ${\mathbb{R}}^{n\times n}$ 中， $A\mapsto e^A$ 的像集 (range) 是所有行列式为正的可逆矩阵的一部分，但不是所有可逆矩阵 (例如，行列式为负的矩阵无法表示为 $e^A$)。在复数域 ${\mathbb{C}}^{n\times n}$ 中，它是所有可逆矩阵的集合 (矩阵对数 Logarithm 的存在性)。

矩阵指数与 ODE (Matrix Exponential and ODEs)

(Slides 24-28)

• (Slide 24) 微分性质: 考虑矩阵函数 $t\mapsto e^{At}$ (这里 $A$ 是常数矩阵, $t$ 是标量)。
  • 对定义级数 $\sum \frac{t^k{A}^k}{k!}$ 逐项求导 (termwise differentiation) (可以证明是合法的，因为收敛性很好)： $$\frac{d}{dt}{e}^{At}=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{k{t}^{k-1}{A}^k}{k!}=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{t^{k-1}{A}^k}{(k-1)!}=A\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{t^{k-1}{A}^{k-1}}{(k-1)!}=A\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(tA{)}^j}{j!}=A{e}^{At}$$ (也可以写成 $e^{At}A$)。
• (Slide 24) 定理: 对于常系数齐次线性系统 $y^{\prime }=Ay$：
  • 矩阵 $\mathrm{\Phi }(t)=e^{At}$ 是一个基础矩阵 (fundamental matrix)。 (因为 ${\mathrm{\Phi }}^{\prime }(t)=A{e}^{At}=A\mathrm{\Phi }(t)$，且 $\mathrm{\Phi }(0)=e^{A\cdot 0}=e^0=I$， $I$ 是可逆的)。
  • 该系统的通解 (general solution) 是 $y(t)=e^{At}\mathbf{c}$。
  • 对应初值问题 $y(0)=y_0$ 的唯一解是 $y(t)=e^{At}{y}_0$。 (因为 $y(0)=e^{A\cdot 0}{y}_0=I{y}_0=y_0$)。
• (Slide 25) 示例: $y^{\prime }‘+y=0⟹y_1^{\prime }=y_2,y_2^{\prime }=-y_1$。系统矩阵 $A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)$。
  • $A^2=-I,A^3=-A,A^4=I,\dots$ (周期为 4)。
  • $e^{At}=I+tA+\frac{t^2}{2!}{A}^2+\frac{t^3}{3!}{A}^3+\dots$ $=I(1-\frac{t^2}{2!}+\frac{t^4}{4!}-\dots )+A(t-\frac{t^3}{3!}+\frac{t^5}{5!}-\dots )$ $=I\cos t+A\sin t=\left(\begin{array}{cc}\cos t& 0\\ 0& \cos t\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}0& \sin t\\ -\sin t& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\cos t& \sin t\\ -\sin t& \cos t\end{array}\right)$ (旋转矩阵)。
  • 对于 $y(0)=6,y^{\prime }(0)=2$，即 $y_0=\left(\begin{array}{c}6\\ 2\end{array}\right)$，解为 $y(t)=e^{At}{y}_0=\left(\begin{array}{cc}\cos t& \sin t\\ -\sin t& \cos t\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}6\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6\cos t+2\sin t\\ -6\sin t+2\cos t\end{array}\right)$。 第一分量 $y_1(t)=y(t)=6\cos t+2\sin t$，与已知解吻合。
• (Slides 26-27) 示例 (非齐次): $y^{\prime }‘+y=t⟹y^{\prime }=Ay+b(t)$ with $A$ 同上, $b(t)=\left(\begin{array}{c}0\\ t\end{array}\right)$。
  • 使用参数变易法，特解 $y_p(t)=e^{At}c(t)$，其中 $c(t)={\int }_0^t{e}^{-As}b(s)ds$。
  • $e^{-As}=\left(\begin{array}{cc}\cos (-s)& \sin (-s)\\ -\sin (-s)& \cos (-s)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\cos s& -\sin s\\ \sin s& \cos s\end{array}\right)$。
  • $e^{-As}b(s)=\left(\begin{array}{cc}\cos s& -\sin s\\ \sin s& \cos s\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}0\\ s\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-s\sin s\\ s\cos s\end{array}\right)$。
  • $c(t)={\int }_0^t\left(\begin{array}{c}-s\sin s\\ s\cos s\end{array}\right)ds=\left(\begin{array}{c}t\cos t-\sin t\\ t\sin t+\cos t-1\end{array}\right)$ (通过分部积分计算)。
  • $y_p(t)=e^{At}c(t)=\left(\begin{array}{cc}\cos t& \sin t\\ -\sin t& \cos t\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}t\cos t-\sin t\\ t\sin t+\cos t-1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}t-\sin t\\ 1-\cos t\end{array}\right)$ (化简后)。
  • (Slide 27) 通解 $y(t)=y_p(t)+e^{At}{c}_0$。 $y(t)=\left(\begin{array}{c}t-\sin t\\ 1-\cos t\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}{c}_1\cos t+c_2\sin t\\ -c_1\sin t+c_2\cos t\end{array}\right)$ (令 $c_0=(c_1,c_2{)}^T$)。 注意到 $y_p(t)=(t,1{)}^T$ 也可以作为特解 (因为 $y^{\prime }‘+y=0+t=t$)，对应的 $y(t)=t+c_1\cos t+c_2\sin t$。这与上面 $y_p$ 推导出的通解形式一致 (只是 $c_1,c_2$ 的定义不同)。 Slide 27 还指出了 $e^{At}$ 方法总能给出实数基本解组 (如果 $A$ 是实矩阵)，而对角化 $A$ (如果可能) 可能会得到复数形式的基本解组 (如 $e^{it}(1,i{)}^T,e^{-it}(1,-i{)}^T$)。
• (Slide 28) 概念检查 (Concept Check): 总结了关于矩阵 IVP 的 EUT、基础矩阵的性质、 $e^{\int Ads}$ 的局限性 (只在 $A(t)$ 与 $\int A(s)ds$ 可交换时才可能是解，比如 $A$ 是常数) 以及 EUT 对非齐次矩阵系统也适用。

高阶线性 ODE (Higher-Order Linear ODE’s)

(Slides 29-37)

降阶法 (Order Reduction)

(Slide 29)

• 任何一个 $n$ 阶线性标量 ODE $$y^{(n)}+a_{n-1}(t)y^{(n-1)}+\cdots +a_1(t)y^{\prime }+a_0(t)y=b(t)$$ 可以通过令 $y_1=y,y_2=y^{\prime },\dots ,y_n=y^{(n-1)}$ 转化为一个 $n\times n$ 的一阶线性系统 $Y^{\prime }=A(t)Y+B(t)$，其中 $Y=(y_1,\dots ,y_n{)}^T$。
• 状态转移关系为： $y_1^{\prime }=y_2$ $y_2^{\prime }=y_3$ … $y_{n-1}^{\prime }=y_n$ $y_n^{\prime }=y^{(n)}=-a_0(t)y_1-a_1(t)y_2-\cdots -a_{n-1}(t)y_n+b(t)$
• 写成矩阵形式 $Y^{\prime }=A(t)Y+B(t)$，其中 $B(t)=(0,\dots ,0,b(t){)}^T$ 且 $A(t)$ 是友矩阵 (Companion Matrix) 的转置： $$A(t)=\left(\begin{array}{ccccccccccccccccccccc}0& 1& 0& \dots & 00& 0& 1& \dots & 0⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮0& 0& 0& \dots & 1-a_0(t)& -a_1(t)& -a_2(t)& \dots & -a_{n-1}(t)\end{array}\right)$$

推论 (Corollary)

(Slides 30-31)

将一阶系统的结论应用到通过降阶法得到的高阶 ODE 系统上：

1. 齐次解空间: 齐次 $n$ 阶 ODE $L[y]=0$ 的所有解构成函数空间 $C^n(I)$ 的一个 $n$ 维子空间 $S$。
2. 基本解组与 Wronskian: 函数组 $y_1(t),\dots ,y_n(t)$ 是解空间 $S$ 的一组基 (即基本解组) $⟺$ 它们的 Wronskian 行列式 (Wronskian determinant) 在某个 (等价于，所有) $t\in I$ 非零。 这里的 Wronskian 矩阵 (Wronski matrix) 定义为： $$W(t)=\left(\begin{array}{ccccccccccccc}{y}_1(t)& y_2(t)& \dots & y_n(t)y_1^{\prime }(t)& y_2^{\prime }(t)& \dots & y_n^{\prime }(t)⋮& ⋮& \ddots & ⋮y_1^{(n-1)}(t)& y_2^{(n-1)}(t)& \dots & y_n^{(n-1)}(t)\end{array}\right)$$ Wronskian 指的是 $W(t)=det(W(t))$。 注意: 这个 $W(t)$ 矩阵正好是对应一阶系统的基础矩阵 $\mathrm{\Phi }(t)$ (如果 $y_1,\dots ,y_n$ 是基本解组)。
3. 非齐次解: 非齐次 $n$ 阶 ODE $L[y]=b(t)$ 总有解。解在整个 $I$ 上存在。其通解的形式为 $y(t)=y_p(t)+y_h(t)$，其中 $y_p$ 是一个特解，$y_h$ 是齐次通解 (来自 $S$)。解集构成 $S$ 的一个陪集 (coset) $y_p+y_h\mid y_h\in S$。
4. 初值问题 (IVP): 对于任意 $t_0\in I$ 和任意初始值 $c_0,c_1,\dots ,c_{n-1}\in \mathbb{C}$，IVP $$L[y]=b(t),y(t_0)=c_0,y^{\prime }(t_0)=c_1,\dots ,y^{(n-1)}(t_0)=c_{n-1}$$ 存在唯一的解，且该解在整个区间 $I$ 上有定义。

示例 (Example - Higher Order Variation of Parameters)

(Slides 32-37)

考虑 ODE: $y^{‴}-y^{″}-2y^{\prime }=\frac{1}{1-t}$, for $t\in (-\mathrm{\infty },1)$.

1. (Slide 32) 齐次解: 齐次方程 $y^{‴}-y^{″}-2y^{\prime }=0$。特征方程 $r^3-r^2-2r=r(r^2-r-2)=r(r-2)(r+1)=0$。根为 $r=0,2,-1$。 基本解组为 $y_1(t)=1,y_2(t)=e^{-t},y_3(t)=e^{2t}$。 Wronskian 矩阵为: $$W(t)=\left(\begin{array}{ccc}1& e^{-t}& e^{2t}\\ 0& -e^{-t}& 2e^{2t}\\ 0& e^{-t}& 4e^{2t}\end{array}\right)$$ 这个 $W(t)$ 是对应一阶系统的基础矩阵 (第一行是 $y$, 第二行是 $y^{\prime }$, 第三行是 $y^{″}$)。(注意这里 $y_1=y,y_2=y^{\prime },y_3=y^{″}$ 来降阶)。
2. (Slides 33-34) 参数变易法 (直接对高阶 ODE): 我们寻找特解 $y_p(t)=c_1(t)y_1(t)+c_2(t)y_2(t)+c_3(t)y_3(t)$。系数 $c_i^{\prime }(t)$ 满足线性方程组 $W(t)\left(\begin{array}{c}{c}_1^{\prime }\\ c_2^{\prime }\\ c_3^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ b(t)/a_n(t)\end{array}\right)$。这里 $a_n=1$ (因为 $y^{‴}$ 系数为 1)，$b(t)=1/(1-t)$。 所以 $W(t)c^{\prime }=(0,0,1/(1-t){)}^T$。我们需要解出 $c^{\prime }=W(t{)}^{-1}(0,0,1/(1-t){)}^T$。 Slide 33 通过高斯消元法求 $W(t{)}^{-1}$ (结果复杂，见 slide)。 然后得到 $c^{\prime }(t)=W(t{)}^{-1}{b}_{vec}(t)$ (这里 $b_{vec}$ 是系统形式的 $B(t)$，即 $(0,0,b(t){)}^T$)。 积分得到 $c(t)$ (结果是含有积分的表达式)。 $y_p(t)=c_1(t)y_1(t)+c_2(t)y_2(t)+c_3(t)y_3(t)$ 得到特解。 通解 $y(t)=y_p(t)+{\gamma }_1{y}_1(t)+{\gamma }_2{y}_2(t)+{\gamma }_3{y}_3(t)$。
3. (Slides 35-37) 矩阵指数方法 (概念性):
   • 系统为 $Y^{\prime }=AY+B(t)$， $A=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 2& 1\end{array}\right)$ (对应 $y^{″}‘=y^{\prime }‘+2y^{\prime }$), $B(t)=(0,0,1/(1-t){)}^T$。
   • 常系数系统，解可以写为 $Y(t)=e^{At}(c(t)+Y_0)$，其中 $c(t)={\int }_0^t{e}^{-As}B(s)ds$ (假设 $t_0=0$)。
   • 关键点：$e^{At}$ 可以通过基础矩阵 $W(t)$ 计算： $$e^{At}=W(t)W(0{)}^{-1}$$ 证明：令 ${\mathrm{\Phi }}_1(t)=e^{At}$ 和 ${\mathrm{\Phi }}_2(t)=W(t)W(0{)}^{-1}$。两者都满足 ${\mathrm{\Phi }}^{\prime }=A\mathrm{\Phi }$ 且 $\mathrm{\Phi }(0)=I$。根据解的唯一性， ${\mathrm{\Phi }}_1(t)={\mathrm{\Phi }}_2(t)$。
   • Slide 36 计算了 $W(0{)}^{-1}$ 并给出了 $e^{At}=W(t)W(0{)}^{-1}$ 的具体表达式。
   • 然后给出 $c(t)={\int }_0^t{e}^{-As}B(s)ds={\int }_0^{t}W(0)W(s{)}^{-1}B(s)ds$。
   • 最终解 $Y(t)=e^{At}Y(0)+e^{At}{\int }_0^t{e}^{-As}B(s)ds$。
   • Slide 37 将 $Y(t)$ 的第一个分量 $y(t)$ 写出，形式是 $y(0),y^{\prime }(0),y^{\prime }‘(0)$ (即 $Y(0)$ 的分量) 乘以 $e^{At}$ 对应行的元素，再加上积分项。

Wronskian 行列式 (The Wronskian)

(Slides 40-43)

定义 (Definition)

(Slide 40)

1. 对于一阶线性系统 $y^{\prime }=A(t)y$ 的 $n$ 个解 ${\mathbf{y}}_{\mathbf{1}}\mathbf{(}\mathbf{t}\mathbf{)},\dots ,{\mathbf{y}}_{\mathbf{n}}\mathbf{(}\mathbf{t}\mathbf{)}$，它们的 Wronskian (或 Wronski 行列式) 是 $W(t) = \det [y_1(t)

   \dots

   y_n(t)]$。

2. 对于 $n$ 阶标量齐次线性 ODE 的 $n$ 个解 $y_1(t),\dots ,y_n(t)$，它们的 Wronskian 是 $W(t)=detW(t)$，其中 $W(t)$ 是 Wronskian 矩阵： $$W(t)=\left(\begin{array}{ccccccccc}{y}_1& \dots & y_n{y}_1^{\prime }& \dots & y_n^{\prime }⋮& \ddots & ⋮y_1^{(n-1)}& \dots & y_n^{(n-1)}\end{array}\right)$$

注: Wronskian 矩阵 $W(t)$ (在定义 2 中) 和基础矩阵 $\mathrm{\Phi }(t)$ (在定义 1 中，当解构成基时) 是密切相关的，尤其是在通过降阶法转换后。Wronski 行列式提供了检验解是否线性无关的关键工具。

阿贝尔定理 (Abel’s Theorem)

(Slides 41-43)

• (Slide 41) 定理: Wronskian $W(t)$ 满足一个一阶线性齐次 ODE $$W^{\prime }(t)=a(t)W(t)$$ 其中：
  • 在情况 1 (一阶系统 $y^{\prime }=A(t)y$) 中，$a(t)=\text{trace}(A(t))=\sum _{i=1}^n{a}_{ii}(t)$ (矩阵 $A(t)$ 的迹)。
  • 在情况 2 ($n$ 阶标量 ODE $y^{(n)}+a_{n-1}(t)y^{(n-1)}+\cdots =0$) 中，$a(t)=-a_{n-1}(t)$ ($y^{(n-1)}$ 项的系数的负值)。
• (Slide 41) 推论: $W(t)$ 的解为： $$W(t)=W(t_0)\exp ({\int }_{t_0}^{t}a(s)ds)$$ 或者说 $W(t)=c\exp (\int a(s)ds)$ 对某个常数 $c$。 这意味着：如果 Wronskian 在一点 $t_0$ 为零，则它在整个区间 $I$ 上恒为零；如果在一点非零，则在整个区间 $I$ 上都非零。 这再次印证了前面关于线性无关的等价性 (只需检查一点即可)。
• (Slide 42) 证明思路 (n=2): 对于 $W(t)=det\left(\begin{array}{cc}{\varphi }_{11}& {\varphi }_{12}\\ {\varphi }_{21}& {\varphi }_{22}\end{array}\right)={\varphi }_{11}{\varphi }_{22}-{\varphi }_{21}{\varphi }_{12}$。 $W^{\prime }(t)=({\varphi }_{11}^{\prime }{\varphi }_{22}+{\varphi }_{11}{\varphi }_{22}^{\prime })-({\varphi }_{21}^{\prime }{\varphi }_{12}+{\varphi }_{21}{\varphi }_{12}^{\prime })$。 使用 ${\mathrm{\Phi }}^{\prime }=A\mathrm{\Phi }$ (即 ${\varphi }_{ij}^{\prime }=\sum _k{a}_{ik}{\varphi }_{kj}$) 代入并化简，可以得到 $W^{\prime }(t)=(a_{11}+a_{22})W(t)=\text{trace}(A)W(t)$。
• (Slide 43) 示例: 回顾 $y^{″}-\frac{1}{2t}{y}^{\prime }+\frac{1}{2t^2}y=0$。 对应的系统矩阵 $A(t)=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1/(2t^2)& 1/(2t)\end{array}\right)$。 $\text{trace}(A(t))=0+1/(2t)=1/(2t)$。 根据 Abel 定理，$W^{\prime }(t)=\frac{1}{2t}W(t)$。 解这个 ODE 得到 $W(t)=c\exp (\int \frac{1}{2t}dt)=c\exp (\frac{1}{2}\ln |t|)=c|t{|}^{1/2}$。 因为我们考虑 $t>0$，所以 $W(t)=c\sqrt{t}$。 之前我们直接计算得到 $W(t)=-\frac{1}{2}\sqrt{t}$，这与 Abel 定理的结果一致 (常数 $c=-1/2$ 由具体选择的解 $y_1=t,y_2=\sqrt{t}$ 在某点的值确定)。

二阶线性常微分方程 (Second-Order Linear ODE’s)

(Slides 47-64)

这部分关注一些特殊的二阶线性 ODE。

2.1 三个著名的例子 (Three Famous Examples)

(Slides 47-50)

介绍三个以数学家命名的二阶时变线性 ODE，它们在物理和工程中有重要应用。它们都是形如 $p(t)y^{″}+q(t)y^{\prime }+r(t)y=0$ 的方程族，参数为 $n\in 0,1,2,\dots$。

1. (Slide 47) 勒让德方程 (Legendre’s Differential Equation): $$(1-t^2)y^{″}-2t{y}^{\prime }+n(n+1)y=0,\text{for }t\in (-1,1)(L{e}_n)$$
2. (Slide 47) 埃尔米特方程 (Hermite’s Differential Equation): $$y^{″}-2t{y}^{\prime }+2ny=0,\text{for }t\in \mathbb{R}(H{e}_n)$$
3. (Slide 47) 拉盖尔方程 (Laguerre’s Differential Equation): $$t{y}^{″}+(1-t)y^{\prime }+ny=0,\text{for }t>0(L{a}_n)$$

• (Slide 48) 定理: 这些方程都有多项式解 (polynomial solutions)。
  • $(L{e}_n)$ 的解是 $n$ 次勒让德多项式 (Legendre Polynomial) $P_n(t)$ (定义见 Rodrigues’ formula): $$P_n(t)=\frac{1}{2^{n}n!}\frac{d^n}{d{t}^n}((t^2-1{)}^n)$$
  • $(H{e}_n)$ 的解是 $n$ 次埃尔米特多项式 (Hermite Polynomial) $H_n(t)$: $$H_n(t)=(-1{)}^n{e}^{t^2}\frac{d^n}{d{t}^n}(e^{-t^2})$$
  • $(L{a}_n)$ 的解是 $n$ 次拉盖尔多项式 (Laguerre Polynomial) $L_n(t)$: $$L_n(t)=e^t\frac{d^n}{d{t}^n}(t^n{e}^{-t})\text{(Generalized Laguerre uses }{t}^{\alpha }{e}^{-t})$$
• (Slide 49) 注记:
  • 在实数域上，多项式和多项式函数是一一对应的。
  • 定义中的归一化因子 (normalization factors) 并不影响它们是 ODE 解的事实 (因为 ODE 是线性的齐次的)。
• (Slide 50) 证明思路 (Legendre): 证明 $P_n(t)$ 满足 $(L{e}_n)$ (这里用未归一化的版本 ${\tilde{P}}_n=\frac{d^n}{d{t}^n}(t^2-1{)}^n$) 的一种方法是计算 $D^{n+1}[(t^2-1)D((t^2-1{)}^n)]$ 两次，利用莱布尼兹公式 (Leibniz’s formula) $D^k(fg)=\sum (\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{i})(D^{i}f)(D^{k-i}g)$。两次计算结果应该相等，从而推导出 ${\tilde{P}}_n$ 满足的 ODE。

降阶法 (Order Reduction)

(Slides 51-54)

这是一种通用技术：如果我们知道二阶齐次线性 ODE $y^{″}+a(t)y^{\prime }+b(t)y=0$ 的一个非零解 $\varphi (t)$，如何找到第二个线性无关的解 $\psi (t)$？

• (Slide 51) 方法:
  1. 假设第二个解的形式为 $\psi (t)=\varphi (t)u(t)$。
  2. 将 $\psi (t)$ 代入原 ODE。
  3. 利用 $\varphi (t)$ 是解这一事实，可以消去含有 $u$ (但没有 $u$ 的导数) 的项。
  4. 得到一个关于 $u^{\prime }$ 的一阶线性 ODE (实际上是关于 $u^{″}$ 和 $u^{\prime }$ 的二阶 ODE，但可以看作 $v=u^{\prime }$ 的一阶 ODE)： $$\varphi u^{″}+(2{\varphi }^{\prime }+a\varphi )u^{\prime }=0$$ 或者写成标准形式（假设 $\varphi \ne 0$）： $$u^{″}+(2\frac{{\varphi }^{\prime }(t)}{\varphi (t)}+a(t))u^{\prime }=0(R)$$
  5. 解这个关于 $u^{\prime }$ 的一阶 ODE： 设 $v=u^{\prime }$，则 $v^{\prime }+(2{\varphi }^{\prime }/\varphi +a)v=0$。这是一个可分离变量或线性一阶 ODE。解为： $$v(t)=u^{\prime }(t)=C\exp (-\int (2\frac{{\varphi }^{\prime }(s)}{\varphi (s)}+a(s))ds)=C\frac{1}{(\varphi (t){)}^2}\exp (-\int a(s)ds)$$
  6. 积分 $u^{\prime }(t)$ 得到 $u(t)$ (取 $C=1$ 且忽略积分常数即可得到一个非平凡的 $u(t)$)。
  7. $\psi (t)=\varphi (t)u(t)$ 就是第二个线性无关解。
• (Slide 52) 推导: 直接代入 $\psi =\varphi u$, ${\psi }^{\prime }={\varphi }^{\prime }u+\varphi u^{\prime }$, ${\psi }^{″}={\varphi }^{\prime }‘u+2{\varphi }^{\prime }{u}^{\prime }+\varphi u^{″}$ 到 $y^{\prime }‘+a{y}^{\prime }+by=0$ 中，整理得到 $({\varphi }^{\prime }‘+a{\varphi }^{\prime }+b\varphi )u+(\varphi u^{″}+(2{\varphi }^{\prime }+a\varphi )u^{\prime })=0$。由于第一项为零 (因 $\varphi$ 是解)，只剩下 $\varphi u^{″}+(2{\varphi }^{\prime }+a\varphi )u^{\prime }=0$。
• (Slides 53-54) 示例 (Legendre n=1): 方程 $(1-t^2)y^{″}-2t{y}^{\prime }+2y=0$。标准形式 $y^{″}-\frac{2t}{1-t^2}{y}^{\prime }+\frac{2}{1-t^2}y=0$。 已知解 $\varphi (t)=P_1(t)=t$。这里 $a(t)=-2t/(1-t^2)$。 寻找 $\psi (t)=tu(t)$。 $u^{\prime }(t)$ 满足： $u^{″}+(2\frac{1}{t}-\frac{2t}{1-t^2})u^{\prime }=0$。 解 $u^{\prime }$: $\ln |u^{\prime }|=-\int (2/t-2t/(1-t^2))dt=-2\ln |t|-\ln |1-t^2|+C^{\prime }$ $u^{\prime }(t)=C\frac{1}{t^2(1-t^2)}$。 取 $C=1$，积分 $u^{\prime }(t)$ (用部分分式 partial fractions $\frac{1}{t^2(1-t^2)}=\frac{1}{t^2}+\frac{1}{1-t^2}=\frac{1}{t^2}+\frac{1/2}{1+t}+\frac{1/2}{1-t}$): $u(t)=\int (\frac{1}{t^2}+\frac{1/2}{1+t}+\frac{1/2}{1-t})dt=-\frac{1}{t}+\frac{1}{2}\ln |1+t|-\frac{1}{2}\ln |1-t|=-\frac{1}{t}+\frac{1}{2}\ln \left|\frac{1+t}{1-t}\right|$。 第二个解 $\psi (t)=\varphi (t)u(t)=t(-\frac{1}{t}+\frac{1}{2}\ln |\frac{1+t}{1-t}|)=-1+\frac{t}{2}\ln |\frac{1+t}{1-t}|$。 由于 $-1$ 是常数，也是齐次解 (对应 $n=0$ 的 $P_0(t)=1$ 乘以常数)，可以去掉。所以第二个线性无关解可以取为 $y_2(t)=\frac{t}{2}\ln |\frac{1+t}{1-t}|$。 (Slide 54 给出的形式是 $\psi (t)=\frac{t}{2}\ln (\frac{1+t}{1-t})-1$，在区间 $(-1,1)$ 上)。 基本解组是 $t,\frac{t}{2}\ln (\frac{1+t}{1-t})-1$ 或等价地 $t,\frac{t}{2}\ln (\frac{1+t}{1-t})$。

欧拉方程 (Euler Equations)

(Slides 55-64)

这是一类重要的具有非恒定系数的二阶 ODE。

定义 (Definition)

(Slide 55)

• 欧拉方程 (Euler Equation) (或 Cauchy-Euler 方程) 的形式为： $$t^2{y}^{″}+\alpha t{y}^{\prime }+\beta y=0(E)$$ 其中 $\alpha ,\beta$ 是常数 (这里假设是实数)。
• 性质：
  • 齐次，线性，二阶。
  • 系数 $t^2,\alpha t,\beta$ 不是常数 (除非 $\alpha =\beta =0$)。
  • 在 $t=0$ 处有一个奇点 (singular point)，因为如果写成标准形式 $y^{″}+(\alpha /t)y^{\prime }+(\beta /t^2)y=0$，系数在 $t=0$ 未定义 (除非 $\alpha =\beta =0$)。
  • 因此，解通常在区间 $(-\mathrm{\infty },0)$ 和 $(0,\mathrm{\infty })$ 上分别考虑。

解法 (Solution Method)

(Slides 59-64)

• 基本思想: 在区间 $t>0$ 上，尝试解的形式 $y(t)=t^r$。
  • $y^{\prime }=r{t}^{r-1}$, $y^{″}=r(r-1)t^{r-2}$。
  • 代入方程 (E)： $t^2[r(r-1)t^{r-2}]+\alpha t[r{t}^{r-1}]+\beta [t^r]=0$ $r(r-1)t^r+\alpha r{t}^r+\beta t^r=0$ $(r^2-r+\alpha r+\beta )t^r=0$
  • 因为 $t^r\ne 0$ (对于 $t>0$)，所以必须满足： $$r^2+(\alpha -1)r+\beta =0$$ 这个代数方程称为特征方程 (characteristic equation) 或指标方程 (indicial equation)。

• 解的三种情况 (取决于特征方程的根 $r_1,r_2$):

  1. (Slide 59) Case 1: 不同实根 (Distinct Real Roots) $r_1\ne r_2$ (当 $(\alpha -1{)}^2-4\beta >0$)。
     • 在 $t>0$ 上，两个线性无关解是 $y_1(t)=t^{r_1}$ 和 $y_2(t)=t^{r_2}$。
     • 通解为 $y(t)=c_1{t}^{r_1}+c_2{t}^{r_2}$。

     • 在 $t<0$ 上，令 $t=-s$ ($s>0$)，方程变为 $s^2{y}^{″}+\alpha s{y}^{\prime }+\beta y=0$，解为 $y(s)=c_1{s}^{r_1}+c_2{s}^{r_2}$。所以 $y(t) = c_1 (-t)^{r_1} + c_2 (-t)^{r_2} = c_1

       t

       ^{r_1} + c_2

       t

       ^{r_2}$。

     • 通解可以统一写为 $y(t) = c_1

       t

       ^{r_1} + c_2

       t

       ^{r_2}$\mathrm{对}$t \neq 0$。

  2. (Slide 63) Case 2: 重复实根 (Repeated Real Roots) $r_1=r_2=r=(1-\alpha )/2$ (当 $(\alpha -1{)}^2-4\beta =0$)。
     • 在 $t>0$ 上，一个解是 $y_1(t)=t^r$。
     • 需要用降阶法找第二个解。令 $y_2=u(t)y_1(t)=u(t)t^r$。代入标准形式 $y^{″}+(\alpha /t)y^{\prime }+(\beta /t^2)y=0$， $a(t)=\alpha /t$。
     • $u^{″}+(2\frac{y_1^{\prime }}{y_1}+a)u^{\prime }=u^{″}+(2\frac{r{t}^{r-1}}{t^r}+\frac{\alpha }{t})u^{\prime }=u^{″}+(\frac{2r+\alpha }{t})u^{\prime }=0$。
     • 由于 $r=(1-\alpha )/2⟹2r=1-\alpha ⟹2r+\alpha =1$。
     • 方程变为 $u^{″}+(1/t)u^{\prime }=0$。令 $v=u^{\prime }$, $v^{\prime }+(1/t)v=0$。解得 $v=u^{\prime }=C/t$。
     • 积分得 $u(t)=C\ln t+D$。取 $C=1,D=0$，得到 $u(t)=\ln t$。
     • 第二个线性无关解是 $y_2(t)=(\ln t)t^r$。
     • 在 $t>0$ 上，通解为 $y(t)=c_1{t}^r+c_2(\ln t)t^r$。

     • 在 $t<0$ 上，解为 $y(t) = c_1

       t

       ^r + c_2 (\ln

       t

       )

       t

       ^r$。

  3. (Slide 64) Case 3: 共轭复根 (Complex Conjugate Roots) $r_{1,2}=\lambda \pm i\mu$ ($\mu \ne 0$) (当 $(\alpha -1{)}^2-4\beta <0$)。
     • 在 $t>0$ 上，形式解为 $t^{\lambda \pm i\mu }$。
     • 使用欧拉公式 $t^{i\mu }=e^{\ln (t^{i\mu })}=e^{i\mu \ln t}=\cos (\mu \ln t)+i\sin (\mu \ln t)$。
     • $t^{\lambda \pm i\mu }=t^{\lambda }{t}^{\pm i\mu }=t^{\lambda }(\cos (\mu \ln t)\pm i\sin (\mu \ln t))$。
     • 两个线性无关的实数解可以通过取复数解的实部和虚部得到： $y_1(t)=t^{\lambda }\cos (\mu \ln t)$ $y_2(t)=t^{\lambda }\sin (\mu \ln t)$
     • 在 $t>0$ 上，通解为 $y(t)=t^{\lambda }(c_1\cos (\mu \ln t)+c_2\sin (\mu \ln t))$。

     • 在 $t<0$ 上，用 $	t	$\mathrm{替}\mathrm{换}$t$，$\ln	t	$\mathrm{替}\mathrm{换}$\ln t$：
       $y(t) =	t	^\lambda (c_1 \cos(\mu \ln	t	) + c_2 \sin(\mu \ln	t	))$。

解在 $t=0$ 附近的行为 (Behavior near t=0)

(Slides 56-58, 60-62, 63-64)

• 反射原理 (Reflection Principle) (Slide 56): $t>0$ 的解 $\varphi (t)$ 可以通过 $\psi (t)=\varphi (-t)$ 得到 $t<0$ 的解。
• 跨越 $t=0$ 的光滑性 (Smoothness across t=0) (Slides 57-58):
  • 一个解 $\varphi (t)$ (定义在 $t>0$) 能否延拓成一个在 $t=0$ 处二次连续可微 ($C^2$) 的函数，取决于其在 $t\to 0^{+}$ 时的行为。
  • 如果 $\underset{t\to 0^{+}}{lim}{\varphi }^{\prime }‘(t)$ 存在，则 $\underset{t\to 0^{+}}{lim}{\varphi }^{\prime }(t)$ 和 $\underset{t\to 0^{+}}{lim}\varphi (t)$ 也存在。
  • 要使得延拓后的函数 (包含 $t=0$ 和 $t<0$ 部分) 在 $t=0$ 处 $C^2$ 光滑，必须要求 ${\varphi }^{\prime }(0)=\underset{t\to 0^{+}}{lim}{\varphi }^{\prime }(t)=0$ (因为 ${\psi }^{\prime }(0)=-{\varphi }^{\prime }(0)$，要左右导数匹配)。

  • 对于 $y(t)=

    t

    ^ry’(t)=r

    t

    ^{r-1}\text{sgn}(t)$,$y’‘(t)=r(r-1)

    t

    ^{r-2}$。

    • $\underset{t\to 0}{lim}{y}^{\prime }(t)=0$ 要求 $r-1>0$, 即 $r>1$。
    • $\underset{t\to 0}{lim}{y}^{\prime }‘(t)$ 存在要求 $r-2\ge 0$, 即 $r\ge 2$ (如果 $r=2$, $y^{″}$ 是常数)。

    • 因此 $

      t

      ^r$\mathrm{在}$t=0$\mathrm{处}\mathrm{是}$C^2$\mathrm{的}$\iff r=0$(\mathrm{此}\mathrm{时}$y=1$)\mathrm{或}$r \ge 2$。

  • 对于 $y(t)=

    t

    ^r \ln

    t

    $(Case2)，\mathrm{行}\mathrm{为}\mathrm{更}\mathrm{差}，\mathrm{通}\mathrm{常}\mathrm{在}$t=0$ 不光滑。

  • 对于 $y(t)=

    t

    ^\lambda \cos/\sin(\mu \ln

    t

    )$(Case3)，\mathrm{当}$t\to 0$,$\ln

    t

    \to -\infty$，\mathrm{函}\mathrm{数}\mathrm{会}\mathrm{无}\mathrm{限}\mathrm{振}\mathrm{荡}(\mathrm{除}\mathrm{非}$\lambda$\mathrm{足}\mathrm{够}\mathrm{大}\mathrm{能}\mathrm{压}\mathrm{制})。$\lim_{t\to 0} y’(t)=0$\mathrm{要}\mathrm{求}$\lambda > 1$。$\lim_{t\to 0} y’‘(t)$\mathrm{存}\mathrm{在}\mathrm{要}\mathrm{求}$\lambda \ge 2$。

• 解空间 $S_0$ (定义在 $\mathbb{R}$ 上) (Slides 60-62 for Case 1):
  • $S_0$ 由那些可以在 $t=0$ 处光滑连接 (至少 $C^2$) 的解构成。
  • 维数 $\dim (S_0)$ 取决于 $r_1,r_2$ (或 $\lambda$) 相对于 0, 1, 2 的值。
  • 例如：
    • 如果 $r_1,r_2<0$，只有 $y=0$ 是 $S_0$ 的解，$\dim =0$。
    • 如果 $r_1=0,r_2<0$，只有 $y=c$ (常数) 是 $S_0$ 解，$\dim =1$。
    • 如果 $r_1=1,r_2=0$ (即 $t^2{y}^{\prime }‘+t{y}^{\prime }=0$)，解 $y=c_1+c_{2}t$ 在 $t=0$ 是 $C^{\mathrm{\infty }}$，$\dim =2$。

    • 如果 $r_1>2,0<r_2<1$，只有 $y=c_1

      t

      ^{r_1}$(\mathrm{满}\mathrm{足}$y(0)=y’(0)=y’‘(0)=0$)\mathrm{和}$y=0$\mathrm{可}\mathrm{以}\mathrm{延}\mathrm{拓}。$\dim=2$(\mathrm{基}\mathrm{是}slide61\mathrm{给}\mathrm{出}\mathrm{的}$y_1, y_2$\mathrm{函}\mathrm{数}，\mathrm{它}\mathrm{们}\mathrm{在}$t=0$\mathrm{处}\mathrm{不}\mathrm{是}\mathrm{传}\mathrm{统}\mathrm{基}\mathrm{的}\mathrm{意}\mathrm{义}，\mathrm{而}\mathrm{是}\mathrm{指}\mathrm{所}\mathrm{有}\mathrm{解}\mathrm{都}\mathrm{可}\mathrm{以}\mathrm{由}\mathrm{它}\mathrm{们}\mathrm{在}$t>0$\mathrm{和}$t<0$ 的部分组合而成)。

    • 如果 $r_1>2,r_2=2$，则 $y=c_1

      t

      ^{r_1} + c_2 t^2$\mathrm{是}\mathrm{解}。$\dim=3$(\mathrm{基}$y_1, y_2$(\mathrm{来}\mathrm{自}$r_1$),$y_3=t^2$)。

    • 如果 $r_1>2,r_2>2$，则 $\dim =4$ (基 $y_1,y_2$ (来自 $r_1$), $y_3,y_4$ (来自 $r_2$))。

  • Case 2 和 Case 3 的分析类似，基于 $t^r,

    t

    ^r \ln

    t

    ,

    t

    ^\lambda \cos/\sin(\mu \ln

    t

    )$\mathrm{在}$t=0$ 的光滑性。