Higher-Order Linear ODE

Overview

我们集中讨论形式如下的 n 阶线性常系数 ODE：

$$a_n{y}^{(n)}+a_{n-1}{y}^{(n-1)}+\cdots +a_1{y}^{\prime }+a_{0}y=b(t)$$

其中 $a_n,\dots ,a_0$ 是常数 ($a_n\ne 0$)，而右侧的 $b(t)$ 可以是 $0$ (齐次情况 homogeneous case) 或非零函数 (非齐次情况 inhomogeneous case)。

我们将看到，这类方程的求解与线性代数中的概念，特别是特征值/特征向量 (eigenvalues/eigenvectors)，以及离散数学中的线性递推关系 (linear recurrence relations) 有着深刻且有趣的联系。

Preliminaries

• 一般线性 ODE (General Linear ODEs): 首先回顾了 n 阶线性 ODE 的一般形式，系数 $a_i(t)$ 和 $b(t)$ 可以是关于 $t$ 的函数。

  $$a_n(t)y^{(n)}+a_{n-1}(t)y^{(n-1)}+\cdots +a_1(t)y^{\prime }+a_0(t)y=b(t)(\ast )$$

• 齐次与非齐次 (Homogeneous and Inhomogeneous):
  • 若 $b(t)\equiv 0$，方程称为齐次的。
  • 若 $b(t)$ 不恒为 $0$，方程称为非齐次的。
• 解的存在唯一性 (Existence and Uniqueness): 对于初值问题 (Initial Value Problem - IVP)，在系数函数连续等条件下，解存在且唯一。对于齐次线性 ODE，解空间构成一个向量空间 (vector space)，其维数等于 ODE 的阶数 $n$ 。

• 常系数情况 (Constant Coefficients ): 又被称为 Time-independent / autonomous linear ODE 这是我们关注的重点。系数 $a_i$ 均为常数。通常我们可以通过除以 $a_n$ 将其标准化 (monic form) 为：

  $$y^{(n)}+a_{n-1}{y}^{(n-1)}+\cdots +a_1{y}^{\prime }+a_{0}y=b(t)(\text{DE})$$ 注意，即使左边是常系数，右端的 $b(t)$ 仍然可以是 $t$ 的函数。

Analogy with Linear Recurrence Relations

与线性递推关系的类比

这是一个非常重要的视角，有助于理解常系数 ODE 解法的来源。

• 线性递推关系 (Linear Recurrence Relation - RR): 形如 $y_{i+n}=a_{n-1}{y}_{i+n-1}+\cdots +a_0{y}_i+b_i$ 的关系。
• 类比:
  • 连续变量 $t\leftrightarrow$ 离散索引 $i$ (或 $t\in \mathbb{N}$)
  • 微分算子 $D:y\mapsto y^{\prime }\leftrightarrow$ 移位算子 (Shift Operator) $S:(y_0,y_1,\dots )\mapsto (y_1,y_2,\dots )$
  • ODE $a(D)y=b(t)\leftrightarrow$ RR $a(S)y=b$ (这里 $a(\cdot )$ 是一个多项式)
• 斐波那契数列 (Fibonacci Numbers) 示例:
  • $f_{i+2}=f_{i+1}+f_i$, $f_0=0,f_1=1$.
  • 关键思想 (Key Idea): 尝试形式为 $y_i=r^i$ 的解。代入 RR 得到 $r^{i+2}=r^{i+1}+r^i$，化简得 $r^2-r-1=0$。
  • 特征方程 (Characteristic Equation): $r^2-r-1=0$。其根 $r_1=\frac{1+\sqrt{5}}{2},r_2=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ 决定了解的基本形式。
  • 特征多项式 (Characteristic Polynomial): $X^2-X-1$。
  • 齐次 RR 的通解是特征根对应解的线性组合: $f_n=c_1{r}_1^n+c_2{r}_2^n$。

  • 通过初始条件 $f_0=0,f_1=1$ 确定常数 $c_1,c_2$，得到著名的比内公式 (Binet’s formula):

    $$f_n=\frac{1}{\sqrt{5}}({\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}^n-{\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)}^n)$$

• 这表明 Fibonacci 数列呈指数增长。
• Eigenvalue/Eigenvector 视角:
  • 函数 $e^{rt}$ 是微分算子 $D$ 的特征函数 (eigenfunction)，特征值为 $r$ ($D{e}^{rt}=r{e}^{rt}$)。
  • 序列 $(1,r,r^2,\dots )$ 是移位算子 $S$ 的特征序列 (eigensequence)，特征值为 $r$ ($S((r^i))=(r^{i+1})=r(r^i)$)。
  • 将多项式 $a(X)$ 应用于算子 $D$ 或 $S$，作用在对应的特征函数/序列上，相当于乘以多项式在特征值处的值 $a(r)$。即 $a(D)e^{rt}=a(r)e^{rt}$ 和 $a(S)(r^i)=a(r)(r^i)$。
  • 这就是为什么求解 $a(D)y=0$ 或 $a(S)y=0$ 的关键在于找到特征多项式 $a(X)$ 的根 $r$ (使得 $a(r)=0$)。

Homogeneous Case

1. 定义

我们关注的是形如下式的 n 阶微分方程：

$$a_n{y}^{(n)}+a_{n-1}{y}^{(n-1)}+\cdots +a_1{y}^{\prime }+a_{0}y=0$$

其中：

• $y^{(k)}$ 表示 $y$ 对 $t$ 的 $k$ 阶导数。
• $a_n,a_{n-1},\dots ,a_0$ 是 常数 (constant coefficients)，并且 $a_n\ne 0$。这些系数通常是实数，但在理论推导时（如 Slide 29 开始），我们会先在复数域 $\mathbb{C}$ 中讨论以获得更一般和简洁的结果。
• 方程右端恒等于 $0$，这使得方程被称为 齐次的 (homogeneous)。

我们可以使用微分算子 $D=\frac{d}{dt}$ 将方程简写为：

$$(a_n{D}^n+a_{n-1}{D}^{n-1}+\cdots +a_{1}D+a_0)y=0$$

或者更简洁地写作 $a(D)y=0$，其中 $a(X)=a_n{X}^n+\cdots +a_0$ 是一个与微分方程相关的多项式，我们马上会看到它的重要性。通常，我们会将方程两边同除以 $a_n$，使最高阶导数的系数为 1 (monic form)，但这不影响解的基本结构。

2. 核心思想：尝试指数解 (The Key Idea: Trying Exponential Solutions)

受到解线性递推关系 (如 Fibonacci 数列) 时尝试 $y_i=r^i$ 的启发，我们尝试求解齐次 ODE 时也使用类似形式的解：

$$y(t)=e^{rt}$$

其中 $r$ 是一个待定的常数 (可能是复数)。

我们将 $y(t)=e^{rt}$ 代入齐次 ODE $a(D)y=0$ 中。因为 $D^k(e^{rt})=r^k{e}^{rt}$，我们得到：

$$a_n(r^n{e}^{rt})+a_{n-1}(r^{n-1}{e}^{rt})+\cdots +a_1(r{e}^{rt})+a_0(e^{rt})=0$$

提取公因子 $e^{rt}$ (它永远不为 0)，得到：

$$(a_n{r}^n+a_{n-1}{r}^{n-1}+\cdots +a_{1}r+a_0)e^{rt}=0$$

这意味着 $y(t)=e^{rt}$ 是 ODE 的一个解，当且仅当 $r$ 满足以下代数方程：

$$a_n{r}^n+a_{n-1}{r}^{n-1}+\cdots +a_{1}r+a_0=0$$

3. 特征方程与特征多项式 (Characteristic Equation and Polynomial)

• 特征方程 (Characteristic Equation): 上述关于 $r$ 的代数方程被称为该微分方程的 特征方程。
• 特征多项式 (Characteristic Polynomial): $a(X)=a_n{X}^n+a_{n-1}{X}^{n-1}+\cdots +a_{1}X+a_0$ 被称为 特征多项式。特征方程就是 $a(r)=0$。

重要联系: 求解齐次线性常系数 ODE 的关键，转化为了求解其对应的代数特征方程 $a(r)=0$。

4. 构建通解：基本解组 (Constructing the General Solution: Fundamental System)

根据代数基本定理 (Fundamental Theorem of Algebra)， $n$ 次多项式 $a(X)$ 在复数域 $\mathbb{C}$ 中恰好有 $n$ 个根 (计入重数)。这些根 ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n$ (可能是复数，也可能重复) 决定了 ODE 解的基本形式。

齐次线性 ODE 的解构成一个 $n$ 维向量空间 (Slide 5, 31)。我们需要找到这个空间的 一组基 (a basis)，这组基被称为 基本解组 (fundamental system of solutions)。它由 $n$ 个 线性无关 (linearly independent) 的解构成。

通解 (general solution) 就是这个基本解组中所有解的线性组合：

$$y_h(t)=c_1{y}_1(t)+c_2{y}_2(t)+\cdots +c_n{y}_n(t)$$

其中 $y_1,\dots ,y_n$ 是基本解组中的 $n$ 个解，$c_1,\dots ,c_n$ 是任意常数。

如何根据特征方程的根构建基本解组？ (核心方法)

设特征多项式 $a(X)$ 在复数域上的分解为 (Slide 31):

$$a(X)=a_n\prod _{i=1}^r(X-{\lambda }_i{)}^{m_i}$$

其中 ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_r$ 是 $a(X)$ 的 不同 的根 (distinct roots)，$m_i$ 是根 ${\lambda }_i$ 的 重数 (multiplicity)，且 $\sum _{i=1}^r{m}_i=n$ (总阶数)。

定理: 复解空间的一个基本解组由以下 $n$ 个函数构成：

$$t^j{e}^{{\lambda }_{i}t}\mid 1\le i\le r,0\le j\le m_i-1$$

实际应用中，我们通常需要实数解 (Real Solutions): 假设 ODE 的系数 $a_i$ 都是实数。

• 情况 1: 实根 (Real Roots)

  • 如果 ${\lambda }_i$ 是一个 实根，重数为 $m_i$，那么它贡献 $m_i$ 个 实数 基本解：

    $$e^{{\lambda }_{i}t},t{e}^{{\lambda }_{i}t},\dots ,t^{m_i-1}{e}^{{\lambda }_{i}t}$$

  • 示例 (Slide 47): $y^{‴}-y^{″}-2y^{\prime }=0$。 $a(X)=X^3-X^2-2X=X(X+1)(X-2)$。根为 ${\lambda }_1=0,{\lambda }_2=-1,{\lambda }_3=2$，都是 1 重实根 ($m_1=m_2=m_3=1$)。基本解组为 $e^{0t},e^{-t},e^{2t}=1,e^{-t},e^{2t}$。通解为 $y_h(t)=c_1+c_2{e}^{-t}+c_3{e}^{2t}$。
  • 示例 (Slide 18-19): $y^{″}-4y^{\prime }+4y=0$。 $a(X)=X^2-4X+4=(X-2{)}^2$。根为 ${\lambda }_1=2$，是 2 重实根 ($m_1=2$)。基本解组为 $e^{2t},t{e}^{2t}$ ($j=0,1$)。通解为 $y_h(t)=c_1{e}^{2t}+c_{2}t{e}^{2t}$。
• 情况 2: 复根 (Complex Roots)
  • 如果 ODE 系数是实数，那么非实数的根 ${\lambda }_i$ 必然以 共轭对 (complex conjugate pairs) $\alpha \pm i\beta$ ($\beta \ne 0$) 的形式出现，并且它们的重数相同，设为 $m_i$。

  • 每一对共轭根 $\alpha \pm i\beta$ (重数为 $m_i$) 会贡献 $2m_i$ 个 实数 基本解。它们可以通过取对应的复数解 $t^j{e}^{(\alpha +i\beta )t}$ 的实部和虚部得到：

    $$t^j{e}^{\alpha t}\cos (\beta t),t^j{e}^{\alpha t}\sin (\beta t)\mid 0\le j\le m_i-1$$

  • 底层原理: 基于欧拉公式 (Euler’s formula) $e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$。因此 $e^{(\alpha +i\beta )t}=e^{\alpha t}{e}^{i\beta t}=e^{\alpha t}(\cos (\beta t)+i\sin (\beta t))$。
    • 技术比喻: 复根代表系统中的振荡行为。$e^{\alpha t}$ 控制振幅的增长或衰减 ($\alpha >0$ 增长, $\alpha <0$ 衰减, $\alpha =0$ 等幅)，$\cos (\beta t)$ 和 $\sin (\beta t)$ 代表频率为 $\beta$ 的振荡的两个基本相位。重数 $j>0$ 时出现的 $t^j$ 因子则表示这种振荡模式可能与时间多项式耦合，产生更复杂的行为 (如振幅随时间变化)。
  • 示例 (Slide 24-25): $y^{″}+y=0$。 $a(X)=X^2+1$。根为 $\lambda =\pm i$ ($\alpha =0,\beta =1$)，都是 1 重根 ($m_1=1$)。复基本解为 $e^{it},e^{-it}$。实基本解组为 $e^{0t}\cos (1t),e^{0t}\sin (1t)=\cos t,\sin t$。通解为 $y_h(t)=c_1\cos t+c_2\sin t$。
  • 示例 (Slide 49-50): $y^{(4)}+8y^{″}+16y=0$。 $a(X)=X^4+8X^2+16=(X^2+4{)}^2=(X-2i{)}^2(X+2i{)}^2$。根为 $\pm 2i$，都是 2 重根 ($m_1=m_2=2$)。$\alpha =0,\beta =2$。实基本解组 ($j=0,1$) 为 $e^{0t}\cos (2t),e^{0t}\sin (2t),t{e}^{0t}\cos (2t),t{e}^{0t}\sin (2t)=\cos (2t),\sin (2t),t\cos (2t),t\sin (2t)$。通解为 $y_h(t)=c_1\cos (2t)+c_2\sin (2t)+c_{3}t\cos (2t)+c_{4}t\sin (2t)$。
  • 示例 (谐振子 Harmonic Oscillator - Slide 52-59): 这是复根情况的重要应用。$y^{″}+2\mu y^{\prime }+{\omega }_0^{2}y=0$ 的解的行为（振荡、衰减）直接取决于特征根是实数还是复数。欠阻尼情况 ($\mu <{\omega }_0$) 就是典型的复根情况。

Inhomogeneous Case

目标是求解形如下式的方程：

$$a_n{y}^{(n)}+a_{n-1}{y}^{(n-1)}+\cdots +a_1{y}^{\prime }+a_{0}y=b(t)$$

或者用算子表示为 $a(D)y=b(t)$，其中关键的区别在于右侧的 驱动项 (forcing term) $b(t)$ 不恒为零

General Theorem

1. 通解的结构 (Structure of the General Solution)

这是理解非齐次方程求解的核心原理。非齐次线性 ODE 的 通解 (general solution) $y(t)$ 由两部分组成：

$$y(t)=y_h(t)+y_p(t)$$

其中：

• $y_h(t)$ 是对应的 齐次方程 (associated homogeneous equation) $a(D)y=0$ 的 通解。这部分包含了 $n$ 个任意常数 ($c_1,\dots ,c_n$)，其求解方法我们在 “Homogeneous Case” 部分已经详细讨论过 (即通过特征方程的根来构建基本解组)。
• $y_p(t)$ 是非齐次方程 $a(D)y=b(t)$ 的 任意一个特解 (any particular solution)。这个特解不包含任何新的任意常数。

为什么这个结构成立？
假设 $y_p$ 是一个特解 ($a(D)y_p=b(t)$)，而 $y$ 是方程的任意其他解 ($a(D)y=b(t)$)。考虑它们的差 $Y=y-y_p$。由于 $a(D)$ 是线性算子，我们有：
$a(D)Y=a(D)(y-y_p)=a(D)y-a(D)y_p=b(t)-b(t)=0$。
这表明 $Y$ 必须是齐次方程 $a(D)y=0$ 的一个解。因此，任何解 $y$ 都可以写成 $y=Y+y_p$，其中 $Y$ 属于齐次解空间，即 $Y=y_h(t)$。

求解策略的核心: 既然 $y_h(t)$ 的求解方法已知，求解非齐次方程的关键就变成了如何找到 一个 特解 $y_p(t)$。

Solution

2. 寻找特解 $y_p(t)$：待定系数法 (Method of Undetermined Coefficients) 的推广

• 适用范围: 该方法适用于 $b(t)$ 是 指数多项式 (exponential polynomial) 的情况。这意味着 $b(t)$ 是形如 $P(t)e^{\mu t}$ 的函数或其和，其中 $P(t)$ 是一个关于 $t$ 的多项式，$\mu$ 是一个 (可能为复的) 常数。
  • 这包括很多常见函数，例如：
    • 常数: $C=C{e}^{0t}$ ($\mu =0$, $P(t)=C$)
    • 多项式: $P(t)=P(t)e^{0t}$ ($\mu =0$)
    • 指数函数: $C{e}^{\mu t}$ ($P(t)=C$)
    • 正弦/余弦: $\cos (\beta t),\sin (\beta t)$ (可以通过欧拉公式表示为 $e^{i\beta t}$ 和 $e^{-i\beta t}$ 的线性组合，即 $\mu =\pm i\beta$)
    • 以上各项的乘积和线性组合。
• 叠加原理 (Superposition Principle):
  如果右端项 $b(t)$ 是多个指数多项式的和，例如 $b(t)=b_1(t)+b_2(t)$，我们可以：
  1. 分别求解 $a(D)y=b_1(t)$ 得到一个特解 $y_{p1}(t)$。
  2. 分别求解 $a(D)y=b_2(t)$ 得到一个特解 $y_{p2}(t)$。
  3. 那么原方程 $a(D)y=b_1(t)+b_2(t)$ 的一个特解就是 $y_p(t)=y_{p1}(t)+y_{p2}(t)$。
     • 重要提示: 在应用叠加原理之前，应该先将 $b(t)$ 中具有相同指数因子 $e^{\mu t}$ 的项合并。例如，如果 $b(t)=(t+1)e^{2t}+3e^{2t}$，应该先合并为 $b(t)=(t+4)e^{2t}$，然后再寻找特解，而不是分别处理 $t{e}^{2t}$, $e^{2t}$ 和 $3e^{2t}$。这可以节省计算量。

求解步骤 (按顺序执行)：

1. 求解齐次方程 $a(D)y=0$:
   • 写出 特征方程 (characteristic equation) $a(r)=0$。
   • 找到所有特征根 (roots) 及其 重数 (multiplicity)。这一步是为了后续检查“共振”现象。
2. 分析非齐次项 $b(t)$:
   • 叠加原理 (Superposition Principle): 如果 $b(t)$ 是多个不同形式项的和，例如 $b(t)=b_1(t)+b_2(t)$，我们可以分别针对 $a(D)y=b_1(t)$ 找到一个特解 $y_{p1}(t)$，再针对 $a(D)y=b_2(t)$ 找到一个特解 $y_{p2}(t)$。那么原方程的特解就是 $y_p(t)=y_{p1}(t)+y_{p2}(t)$。
   • 处理单个项: 将 $b(t)$ 分解为形如 $P(t)e^{\alpha t}\cos (\beta t)$ 或 $P(t)e^{\alpha t}\sin (\beta t)$ 的项（或它们的和）。对于每一个这样的“基本”项，执行以下步骤。
3. 确定“检查数” $\lambda$ 和多项式次数 $k$:
   • 对于一个形式为 $P(t)e^{\alpha t}\cos (\beta t)$ 或 $P(t)e^{\alpha t}\sin (\beta t)$ 的项，确定其对应的 复数指数 (complex exponent) $\lambda =\alpha +i\beta$。
     • 如果只有 $P(t)e^{\alpha t}$ (即 $\beta =0$)，则 $\lambda =\alpha$ (实数)。
     • 如果只有 $P(t)$ (即 $\alpha =0,\beta =0$)，则 $\lambda =0$。
     • 如果涉及 $\cos (\beta t)$ 或 $\sin (\beta t)$ (且 $\beta \ne 0$)，则 $\lambda =\alpha +i\beta$ 是一个非实复数。
   • 确定多项式 $P(t)$ 的 次数 (degree)，记为 $k$。
4. 检查共振 (Check for Resonance):
   • 将步骤 3 中得到的 $\lambda =\alpha +i\beta$ 与步骤 1 中找到的 特征根 进行比较。
   • 判断 $\lambda$ 是否是 特征方程 $a(r)=0$ 的一个根。
   • 如果 $\lambda$ 是特征根，确定它的 重数 (multiplicity) $m$ ($m\ge 1$)。
   • 如果 $\lambda$ 不是 特征根，则重数 $m=0$。

5. 构建特解的猜测形式 (Construct the Ansatz - Slide 61):
   根据 $\lambda =\alpha +i\beta$, $k$, 和 $m$ 来确定对应的特解 $y_{pi}(t)$ 的形式。

   • Case 1: $b(t)$ 项不含三角函数 ($\beta =0$)
     • 形式为 $P(t)e^{\alpha t}$，其中 $P(t)$ 次数为 $k$，对应的检查数为 $\lambda =\alpha$。
     • 检查 $\alpha$ 是否为特征根，重数为 $m$ ($m\ge 0$)。

     • 特解的猜测形式为：

       $$y_{pi}(t)=t^m\times (A_0+A_{1}t+\cdots +A_k{t}^k)\times e^{\alpha t}$$

       其中 $A_0,\dots ,A_k$ 是待定系数。(注意：即使 $P(t)$ 缺少某些项，括号里的通用多项式也必须是 完整的 $k$ 次多项式)

   • Case 2: $b(t)$ 项包含三角函数 ($\beta \ne 0$)
     • 形式为 $P(t)e^{\alpha t}\cos (\beta t)$ 或 $P(t)e^{\alpha t}\sin (\beta t)$ (或它们的和)，其中 $P(t)$ 最高次数为 $k$。对应的检查数为复数 $\lambda =\alpha +i\beta$。
     • 检查 $\lambda =\alpha +i\beta$ 是否为特征根，重数为 $m$ ($m\ge 0$)。(注意：如果 $a(r)$ 的系数是实数，那么 $\alpha -i\beta$ 必然也是重数为 $m$ 的根)。

     • 特解的猜测形式为：

       $$y_{pi}(t)=t^m{e}^{\alpha t}[(A_0+A_{1}t+\cdots +A_k{t}^k)\cos (\beta t)+(B_0+B_{1}t+\cdots +B_k{t}^k)\sin (\beta t)]$$

       其中 $A_0,\dots ,A_k$ 和 $B_0,\dots ,B_k$ 都是待定系数。

       • 关键点:
         • 即使原始 $b(t)$ 项只包含 $\cos (\beta t)$ 或只包含 $\sin (\beta t)$，猜测形式必须同时包含 $\cos (\beta t)$ 和 $\sin (\beta t)$ 两部分。
         • 两个括号内的多项式都必须是完整的 $k$ 次通用多项式。
         • 整个表达式乘以 $t^m$ 修正因子。
6. 组合与求解:
   • 如果 $b(t)$ 是多个项的和，将每个项对应的 $y_{pi}(t)$ 形式加起来，得到总的 $y_p(t)$ 的猜测形式。
   • 将这个带有待定系数 ($A_i,B_i$) 的 $y_p(t)$ 形式代入 原始的非齐次微分方程 $a(D)y=b(t)$。
   • 通过比较方程两边 $e^{\alpha t}\cos (\beta t),e^{\alpha t}\sin (\beta t),t{e}^{\alpha t}\cos (\beta t)$, … 等项的系数，建立关于待定系数 $A_i,B_i$ 的代数方程组。
   • 解这个代数方程组，求出所有待定系数的值。
   • 将求出的系数值代回 $y_p(t)$ 的形式，就得到了一个具体的特解。

View from top

这部分主要是提供一个更深层次、更统一的视角来理解我们之前分别讨论的常系数线性微分方程 (Linear ODEs with Constant Coefficients) 和常系数线性递推关系 (Linear Recurrence Relations with Constant Coefficients) 之间的深刻联系。这种联系是通过指数生成函数 (Exponential Generating Functions, EGF) 建立的。

1. 指数生成函数 (Exponential Generating Function - EGF)

• 定义 (Definition)：对于一个 (复数) 序列 $y=(y_0,y_1,y_2,\dots )$，它的指数生成函数 $egf(y)$ 定义为一个 (形式) 幂级数：

  $$f(t)=egf(y)(t)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{y_n}{n!}{t}^n=\frac{y_0}{0!}+\frac{y_1}{1!}t+\frac{y_2}{2!}{t}^2+\frac{y_3}{3!}{t}^3+\dots$$

• 关键性质 (Key Property)：EGF $f(t)$ 蕴含了序列 $y$ 的所有信息。如果 $f(t)$ 的收敛半径大于 0，我们可以通过求导在 $t=0$ 处的值来恢复序列：$y_n=f^{(n)}(0)$ (即 $f(t)$ 在 $t=0$ 处的 $n$ 阶导数)。

• 收敛性 (Convergence) (Slide 73)：如果序列 $y$ 的增长速度至多是指数级的 (即存在常数 $C>1$ 使得对足够大的 $n$，有 $

  y_n

  \le C^n$)，\mathrm{那}\mathrm{么}\mathrm{它}\mathrm{的}EGF\mathrm{的}\mathrm{收}\mathrm{敛}\mathrm{半}\mathrm{径}\mathrm{是}\mathrm{无}\mathrm{穷}\mathrm{大}($R = \infty$)。我们之前遇到的常系数线性递推关系的解通常都满足这个条件。

2. 核心定理：微分算子 D 与移位算子 S 的联系 (Core Theorem: Linking Operator D and S)

这个定理是本部分的精华，它精确地描述了微分方程和递推关系之间的转换关系。

• 定理内容 (Theorem Statement)：

  1. 算子对应 (Operator Correspondence)：令 $p(X)$ 是一个系数在 $\mathbb{C}$ 中的多项式。对于任意序列 $y\in {\mathbb{C}}^{\mathbb{N}}$，将多项式微分算子 $p(D)$ (其中 $D=\frac{d}{dt}$) 应用于序列 $y$ 的 EGF，其结果等于将多项式移位算子 $p(S)$ (其中 $S$ 作用于序列 $y=(y_i)$ 得到 $(y_{i+1})$) 应用于序列 $y$ 后得到的新序列的 EGF。用公式表示：

     $$p(D)egf(y)=egf(p(S)y)$$ 这个关系的基础是微分算子 $D$ 作用于 EGF 对应移位算子 $S$ 作用于原序列：

     $$D[egf(y)]=\frac{d}{dt}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{y_n}{n!}{t}^n=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{y_n}{(n-1)!}{t}^{n-1}=\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{y_{m+1}}{m!}{t}^m=egf(Sy)$$

  2. IVP 与递推关系等价性 (Equivalence of IVP and Recurrence)：假设 $p(X)$ 是一个 $n$ 次的首一多项式 (monic polynomial)。序列 $y=(y_0,y_1,y_2,\dots )$ 满足线性递推关系 $p(S)y=b$ (其中 $b$ 是另一个序列)，当且仅当 (if and only if) 它的指数生成函数 $y(t)=egf(y)$ 满足初值问题 (Initial Value Problem, IVP)：

     $$p(D)y(t)=egf(b)(t)$$ 且初始条件为 $y^{(i)}(0)=y_i$ 对于 $0\le i\le n-1$。

• 意义 (Significance)：这个定理告诉我们，求解常系数线性递推关系本质上等价于求解一个对应的常系数线性微分方程的初值问题，反之亦然。它们是同一个数学结构在离散和连续领域中的体现。初始条件 $y^{(i)}(0)=y_i$ 正是连接序列前 $n$ 项和函数及其导数值的关键。