Existence and Uniqueness of Solutions

#Math285

[!tip] 概要 本节我们主要阐述n维一阶ODE解的存在性与唯一性定理

• 将定理推广到覆盖 $n$ 维一阶 ODE 系统，其向量形式为 $y^{\prime }=f(t,\mathbf{y})$，其中 $y\in {\mathbb{R}}^n$。这一点至关重要，因为它允许我们通过将高阶标量 ODE 转化为一阶系统，从而将结果应用于高阶 ODE。
• 放宽对函数 $f(t,y)$ 的条件。我们将使用一个称为关于 $y$ 的 利普希茨条件 (Lipschitz condition) 的较弱条件，而不是要求 $f$ 对 $y$ 的分量具有连续偏导数。这个更宽泛的条件使得定理能够覆盖更多在应用中 (尤其是在工程数学中) 很重要的 ODE 类型。

Lipschitz Conditions

Definition

• 1. 定义
  • 我们考虑一个函数 $f:D\to {\mathbb{R}}^n$，其定义域 $D$ 是 $\mathbb{R}\times {\mathbb{R}}^n$ 的一个子集。你可以将 $t$ 想象成时间，$y$ 想象成状态向量。
  • 我们说 $f(t,y)$ 在 $D$ 上关于 $y$ 满足 Lipschitz 条件，是指存在一个常数 $L>0$ (称为 利普希茨常数 (Lipschitz constant))，使得对于 $D$ 中的任意两个点 $(t,y_1)$ 和 $(t,y_2)$ (注意它们的 $t$ 值相同)： $$|f(t,y_1)-f(t,y_2)|\le L|y_1-y_2|$$ 这里的 $|\cdot |$ 表示 ${\mathbb{R}}^n$ 中的欧几里得范数 (Euclidean norm)。这个条件本质上限制了当你改变 $y$ 时，函数 $f$ 的变化速度，并且这种限制对所有 $t$ 是一致的。
    • 技术比喻 (Technical Analogy): 想象函数值 $f(t,y)$ 代表在时间 $t$ 和位置 $y$ 处某个地貌的海拔高度。Lipschitz 条件意味着该地貌在 $y$ 方向的坡度是有界的；它不可能是无限陡峭的。Lipschitz 常数 $L$ 就是这个陡峭程度的界限。对于满足条件的函数，只要我们能够控制自变量的变化，就能够控制因变量的增长
  • 我们说 $f$ 关于 $y$ 满足 局部利普希茨条件 (locally Lipschitz condition)，是指对于 每一个 点 $(t_0,y_0)\in D$，都存在一个它周围的邻域 $D^{\prime }$ (包含在 $D$ 内)，在这个邻域上 Lipschitz 条件对某个常数 $L$ 成立。这个 $L$ 对于不同的邻域可能是不同的。这个局部版本是我们将在定理中主要使用的。

Proposition

• 2. 命题
  • 这个命题提供了一个检验局部 Lipschitz 条件的常用方法： 如果函数 $f:D\to {\mathbb{R}}^n$ 在开集 $D$ 上关于变量 $y=(y_1,\dots ,y_n)$ 具有连续的偏导数，那么 $f$ 在 $D$ 上关于 $y$ 满足局部 Lipschitz 条件。
  • 证明思路 (Proof Idea):

    1. 对于 $D$ 中的任意点 $(a,b)$，因为 $D$ 是开集，我们可以找到一个围绕 $(a,b)$ 的闭凸邻域 $V$ (例如一个小的矩形区域 $V = {(t, y) \mid

       t-a

       \le r,

       y-b

       \le r}$)，\mathrm{它}\mathrm{完}\mathrm{全}\mathrm{包}\mathrm{含}\mathrm{在}$D$ 中。

    2. 对固定 $t$，将 中值定理 (Mean Value Theorem) (向量值函数的积分形式) 应用于函数 $g(y)=f(t,y)$。这给出： $$f(t,y_1)-f(t,y_2)=({\int }_0^1{J}_{f,y}(t,y_1+s(y_2-y_1))ds)(y_1-y_2)$$ 其中 $J_{f,y}$ 是 $f$ 关于 $y$ 的 雅可比矩阵 (Jacobian matrix)，包含偏导数 $\partial f_i/\partial y_j$。我们将积分得到的矩阵记为 $A(t,y_1,y_2)$。

    3. 由于偏导数在紧集 $V$ 上是连续的，因此它们在 $V$ 上是有界的。设 $M$ 是 $V$ 中所有 $

       \partial f_i / \partial y_j

       $ 的一个上界。

    4. 然后我们可以界定矩阵 $A$ 的范数。幻灯片 7 使用了 Frobenius 范数 $||A|{|}_F$，并表明 $||A|{|}_F\le \sqrt{n^2{M}^2}=nM$。利用性质 $|Av|\le ||A|{|}_F|v|$，我们得到： $$|f(t,y_1)-f(t,y_2)|\le ||A|{|}_F|y_1-y_2|\le nM|y_1-y_2|$$
    5. 因此，$f$ 在邻域 $V$ 上是 Lipschitz 的，Lipschitz 常数为 $L=nM$。因为这对任何点 $(a,b)$ 都适用，所以 $f$ 是局部 Lipschitz 的。

Example

• 3.例子: 艾里方程 (Airy’s Equation)
  • 二阶 ODE $y^{″}=ty$ 通过令 $y_0=y,y_1=y^{\prime }$ 转化为一阶系统。该系统为 $y^{\prime }=(y_0^{\prime },y_1^{\prime }{)}^T=(y_1,t{y}_0{)}^T$。因此，$\mathbf{f}(t,y)=(y_1,t{y}_0{)}^T$，其中 $y=(y_0,y_1{)}^T$。
  • 函数 $\mathbf{f}$ 的偏导数为：$\partial f_1/\partial y_0=0,\partial f_1/\partial y_1=1,\partial f_2/\partial y_0=t,\partial f_2/\partial y_1=0$。这些在任何地方都是连续的。因此，根据命题，$\mathbf{f}$ 在 $\mathbb{R}\times {\mathbb{R}}^2$ 上关于 $y$ 是局部 Lipschitz 的。
  • 直接推导： $$|\mathbf{f}(t,y)-\mathbf{f}(t,z)|=\sqrt{(y_1-z_1{)}^2+(t{y}_0-t{z}_0{)}^2}=\sqrt{(y_1-z_1{)}^2+t^2(y_0-z_0{)}^2}$$ 如果我们将 $t$ 限制在一个区间 $|t|\le R$ (并假设 $R\ge 1$)，那么： $$|\mathbf{f}(t,y)-\mathbf{f}(t,z)|\le \sqrt{R^2(y_1-z_1{)}^2+R^2(y_0-z_0{)}^2}=R|y-z|$$ 所以，$\mathbf{f}$ 在任何带状区域 $[-R,R]\times {\mathbb{R}}^2$ 上都是 Lipschitz 的，其 Lipschitz 常数为 $L=R$ (对于 $R\ge 1$)。这证实了它处处是局部 Lipschitz 的。幻灯片 9 指出，对于一个点 $(t,y)$，我们可以取邻域 $V=[t-1,t+1]\times {\mathbb{R}}^2$ 并使用 $L=|t|+1$。

Remarks

• 4. 备注
  • 我们可以联系单变量函数 $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ 与 Lipschitz 连续性。它提到紧区间上的 $C^1$ 函数是 Lipschitz 的，并且 Lipschitz 连续性意味着 一致连续性 (uniform continuity) (但反之不成立，例如 $[0,\mathrm{\infty })$ 上的 $\sqrt{x}$)。

  • 线性映射 (linear maps) $f(x)=Ax$ 是 Lipschitz 的，其 $L =

    A

  • 这个概念推广到任意 度量空间 (metric spaces) $(M,d)$ 和 $(M^{\prime },d^{\prime })$ 之间的映射：$d^{\prime }(T(x),T(y))\le Ld(x,y)$。它将此与 巴拿赫不动点定理 (Banach’s Fixed Point Theorem) 中使用的 压缩映射 (contraction mappings) 联系起来，此时 $L<1$。

Connections to Integral Equations

5. 与积分方程的联系

• 一个由 ODE $y^{\prime }=f(t,y)$ 和初始条件 $y(t_0)=y_0$ 组成的 初值问题 (Initial Value Problem, IVP) 等价于一个 积分方程 (integral equation)。
• 一个在包含 $t_0$ 的区间 $I$ 上定义的连续函数 $\varphi (t)$ 是该 IVP 的解，当且仅当 它满足： $$\varphi (t)=y_0+{\int }_{t_0}^{t}f(\tau ,\varphi (\tau ))d\tau \text{对于所有 }t\in I$$
• 这个等价性是由微积分基本定理建立的。如果 $\varphi (t)$ 满足积分方程，对其求导得到 ${\varphi }^{\prime }(t)=f(t,\varphi (t))$，并且令 $t=t_0$ 得到 $\varphi (t_0)=y_0$。反之，将 ${\varphi }^{\prime }(t)=f(t,\varphi (t))$ 从 $t_0$ 积分到 $t$ 就得到积分方程。
• 这种重新表述是关键，因为证明积分方程的存在性和唯一性通常更容易处理，特别是使用像不动点定理这样的分析工具。

The Uniqueness Theorem

Theorem Statement

[!tip] 定理陈述 : 唯一性定理 (Uniqueness Theorem) 假设 $f(t,y)$ 在开区域$D\subseteq \mathbb{R}\times {\mathbb{R}}^n$ 上连续，并且关于 $y$ 满足局部 Lipschitz 条件。如果 $\varphi :I\to {\mathbb{R}}^n$ 和 $\psi :I\to {\mathbb{R}}^n$ 是同一区间 $I$ 上同一个 IVP $y^{\prime }=f(t,y),y(t_0)=y_0$ 的两个解，那么它们必须是相同的，即对于所有 $t\in I$，有 $\varphi (t)=\psi (t)$。

• 证明 证明依赖于一个引理，该引理隐含地使用了 Gronwall 不等式。
  1. 引理 (Lemma): 如果两个解 $\varphi$ 和 $\psi$ 在 $I$ 中的某点 $a$ 相等 (即 $\varphi (a)=\psi (a)$)，那么它们必定在 $a$ 周围的一个小区间内相等，具体来说是对于某个 $ϵ>0$，在 $I\cap [a-ϵ,a+ϵ]$ 上相等。
  2. 引理证明 (Proof of Lemma)
     • 从积分形式开始：$\varphi (t)-\psi (t)={\int }_a^t[f(\tau ,\varphi (\tau ))-f(\tau ,\psi (\tau ))]d\tau$。
     • 取范数，并在 $(a,\varphi (a))$ 的一个邻域 $V$ 内使用局部 Lipschitz 条件 (常数为 $L$)： $$|\varphi (t)-\psi (t)|\le |{\int }_a^t|f(\tau ,\varphi (\tau ))-f(\tau ,\psi (\tau ))|d\tau |\le |{\int }_a^{t}L|\varphi (\tau )-\psi (\tau )|d\tau |$$ (积分外的绝对值处理了 $t<a$ 与 $t>a$ 的情况)。

     • 令 $M(t) = \max_{\tau \in [a, t] \text{ 或 } [t, a]}

       \phi(\tau) - \psi(\tau)

       $。\mathrm{那}\mathrm{么}\mathrm{上}\mathrm{述}\mathrm{不}\mathrm{等}\mathrm{式}\mathrm{意}\mathrm{味}\mathrm{着}$

       \phi(t) - \psi(t)

       \le L

       t-a

       M(t)$。

     • 由于这对 $a$ 和 $t$ 之间的所有 $t^{\prime }$ 都成立，所以 $M(t)$ 也必须满足 $M(t) \le L

       t-a

       M(t)$。

     • 选择足够小的 $ϵ$ (例如 $ϵ=min\delta ,1/(2L)$，其中 $\delta$ 定义了局部 Lipschitz 条件成立的区间)，使得对于 $t\in I\cap [a-ϵ,a+ϵ]$，我们有 $L

       t-a

       \le L\epsilon \le 1/2$。

     • 那么 $M(t)\le (1/2)M(t)$，这只有当 $M(t)=0$ 时才成立。
     • 因此，对于所有 $t\in I\cap [a-ϵ,a+ϵ]$，有 $\varphi (t)=\psi (t)$。
  3. 定理证明 (Proof of Theorem) 使用反证法。假设 $\varphi$ 和 $\psi$ 是不同的解。令 $A=t\in I\mid \varphi (t)=\psi (t)$ (非空，因为 $t_0\in A$) 且 $N=I\setminus A$ (假设非空)。
     • 考虑存在 $t_1\in N$ 且 $t_1>t_0$ 的情况。令 $t_2=inft\in N\mid t\ge t_0$。由于 $A$ 相对于 $I$ 是闭集 (由连续性可知) 并且包含 $[t_0,t_0+ϵ]$ (由引理可知)，$t_2$ 必定存在，$t_2>t_0$，且 $t_2\in A$。
     • 但如果 $t_2\in A$，引理意味着 $\varphi$ 和 $\psi$ 必须在 $[t_2,t_2+{ϵ}^{\prime }]\cap I$ 上对于某个 ${ϵ}^{\prime }>0$ 相等。这与 $t_2$ 是它们在 $t_0$ 之后开始不同的点的下确界相矛盾。
     • 如果 $N$ 包含小于 $t_0$ 的点，类似的论证也适用。
     • 因此，$N$ 必须是空集，即对于所有 $t\in I$，$\varphi (t)=\psi (t)$。

Examples and Remark

• 例子和备注

  • 例 1: $y’ = \sqrt{

    y

    }$，$y(t_0)=0$。\mathrm{我}\mathrm{们}\mathrm{知}\mathrm{道}$y_1(t)=0$\mathrm{是}\mathrm{一}\mathrm{个}\mathrm{解}。\mathrm{同}\mathrm{时}$y_2(t) = \frac{1}{4}(t-t_0)

    t-t_0

    $\mathrm{是}\mathrm{另}\mathrm{一}\mathrm{个}\mathrm{解}。\mathrm{唯}\mathrm{一}\mathrm{性}\mathrm{失}\mathrm{败}\mathrm{了}！\mathrm{为}\mathrm{什}\mathrm{么}？\mathrm{函}\mathrm{数}$f(y) = \sqrt{

    y

    }$\mathrm{在}$y=0$\mathrm{处}\mathrm{不}\mathrm{是}Lipschitz\mathrm{的}。\mathrm{它}\mathrm{的}\mathrm{导}\mathrm{数}\mathrm{在}$y=0$\mathrm{附}\mathrm{近}\mathrm{趋}\mathrm{于}\mathrm{无}\mathrm{穷}。\mathrm{定}\mathrm{理}\mathrm{在}$y=0$\mathrm{处}\mathrm{的}\mathrm{假}\mathrm{设}\mathrm{不}\mathrm{满}\mathrm{足}。\mathrm{然}\mathrm{而}，\mathrm{对}\mathrm{于}$y_0 \ne 0$\mathrm{的}\mathrm{情}\mathrm{况}，$f$\mathrm{是}\mathrm{局}\mathrm{部}Lipschitz\mathrm{的}，\mathrm{因}\mathrm{此}\mathrm{只}\mathrm{要}\mathrm{解}\mathrm{不}\mathrm{碰}\mathrm{到}$y=0$，唯一性就成立。

  • 例 2: $y’ = y \ln

    y

    $(\mathrm{对}\mathrm{于}$y \ne 0$，$f(0)=0$)。$y(t)=0$\mathrm{是}\mathrm{一}\mathrm{个}\mathrm{解}。\mathrm{其}\mathrm{他}\mathrm{解}\mathrm{是}$y(t) = \pm e^{c e^t}$。\mathrm{这}\mathrm{些}\mathrm{解}\mathrm{永}\mathrm{远}\mathrm{不}\mathrm{会}\mathrm{达}\mathrm{到}$y=0$。\mathrm{所}\mathrm{以}，\mathrm{尽}\mathrm{管}$f(y) = y \ln

    y

    $\mathrm{在}$y=0$\mathrm{处}\mathrm{不}\mathrm{是}\mathrm{局}\mathrm{部}Lipschitz\mathrm{的}(\mathrm{导}\mathrm{数}$1+\ln

    y

    \to -\infty$)，\mathrm{但}$y(t_0)=0$\mathrm{的}IVP\mathrm{确}\mathrm{实}\mathrm{有}\mathrm{唯}\mathrm{一}\mathrm{解}($y(t)=0$)。这表明 Lipschitz 条件对于唯一性是充分的，但不是必要的。

  • 备注 定理的条件 (f 连续性，关于 y 的局部 Lipschitz 性) 很常用，因为它们能导出相对简单的证明并覆盖许多应用场景。这些条件可以放宽 (例如，Peano 定理只需要连续性即可保证存在性；Osgood 条件则放宽了 Lipschitz 条件来保证唯一性)，但证明会变得更加困难。

  • 练习: 唯一性定理是否适用于 $y’=

    y

    $?\mathrm{是}\mathrm{的}。$f(y)=

    y

    $\mathrm{是}\mathrm{连}\mathrm{续}\mathrm{的}。\mathrm{它}\mathrm{是}\mathrm{否}Lipschitz？$

    f(y_1) - f(y_2)

    =

    y_1

    -

    y_2

    \le

Existence Theorem

存在性定理 (皮卡-林德洛夫) (The Existence Theorem (Picard-Lindelöf))

Theorem Statement

[!tip] 定理陈述 存在性定理 (Existence Theorem) (通常称为 Picard-Lindelöf 定理)： 假设 $f(t,y)$ 在开区域 $D\subseteq \mathbb{R}\times {\mathbb{R}}^n$ 上连续，并且关于 $y$ 满足局部 Lipschitz 条件。那么对于任意初始点 $(t_0,y_0)\in D$，存在一个区间 $I=[t_0-ϵ,t_0+ϵ]$ (对于某个 $ϵ>0$) 以及至少一个 IVP $y^{\prime }=f(t,y),y(t_0)=y_0$ 的解 $\varphi :I\to {\mathbb{R}}^n$。

• 证明策略 (Proof Strategy) 证明使用了 巴拿赫不动点定理 (Banach’s Fixed Point Theorem) 应用于我们之前定义的积分算子 $T$：$(T\varphi )(t)=y_0+{\int }_{t_0}^{t}f(\tau ,\varphi (\tau ))d\tau$。解就是算子 $T$ 的一个不动点 $\varphi =T\varphi$。
  1. 构建空间 (Set up the Space)
     • 找到一个以 $(t_0,y_0)$ 为中心且包含在 $D$ 中的闭矩形 (或高维中的闭圆柱体) $V=[t_0-r,t_0+r]\times \overline{B}(y_0,r)$。

     • 在这个紧集 $V$ 上，连续函数 $f$ 是有界的，设 $

       f(t, y)

       \le M$。\mathrm{同}\mathrm{时}，\mathrm{由}\mathrm{于}$f$\mathrm{是}\mathrm{局}\mathrm{部}Lipschitz\mathrm{的}，\mathrm{它}\mathrm{在}$V$\mathrm{上}\mathrm{以}\mathrm{某}\mathrm{个}\mathrm{常}\mathrm{数}$L$ 满足 Lipschitz 条件。

     • 选择一个时间区间宽度 $ϵ=minr,r/M,1/(2L)$。这个关键的选择确保了 $T$ 具有良好的性质。

     • 定义函数空间 $\mathcal{M}$ 为所有连续函数 $\varphi :[t_0-ϵ,t_0+ϵ]\to {\mathbb{R}}^n$ 的集合，这些函数的图像保持在 $V$ 的 $y$ 部分内：对于所有 $t\in [t_0-ϵ,t_0+ϵ]$，$

       \phi(t) - y_0

       \le r$。

     • 为 $\mathcal{M}$ 配备最大范数 (或上确界范数) $

       \phi - \psi

       \infty = \max{t \in [t_0-\epsilon, t_0+\epsilon]}

  2. 证明 T 将 $\mathcal{M}$ 映射到 $\mathcal{M}$ (Show $T$ maps $\mathcal{M}$ into $\mathcal{M}$) 对于任何 $\varphi \in \mathcal{M}$，我们需要证明 $(T\varphi )$ 也在 $\mathcal{M}$ 中。即需证明 $|(T\varphi )(t)-y_0|\le r$。 $$|(T\varphi )(t)-y_0|=|{\int }_{t_0}^{t}f(\tau ,\varphi (\tau ))d\tau |\le |{\int }_{t_0}^t|f(\tau ,\varphi (\tau ))|d\tau |$$ 因为 $\varphi \in \mathcal{M}$，$(\tau ,\varphi (\tau ))$ 在 $V$ 中，所以 $|f(\tau ,\varphi (\tau ))|\le M$。 $$|(T\varphi )(t)-y_0|\le M|t-t_0|\le Mϵ$$ 因为我们选择了 $ϵ\le r/M$，所以 $Mϵ\le r$。因此，$T\varphi \in \mathcal{M}$。
  3. 证明 T 是一个压缩映射 (Show $T$ is a Contraction Mapping): 我们需要证明对于某个常数 $C<1$，有 $||T\phi_1 - T\phi_2||\infty \le C ||\phi_1 - \phi_2||\infty$。$$|(T{\varphi }_1)(t)-(T{\varphi }_2)(t)|=|{\int }_{t_0}^t[f(\tau ,{\varphi }_1(\tau ))-f(\tau ,{\varphi }_2(\tau ))]d\tau |$$$$\le |{\int }_{t_0}^t|f(\tau ,{\varphi }_1(\tau ))-f(\tau ,{\varphi }_2(\tau ))|d\tau |\le |{\int }_{t_0}^{t}L|{\varphi }_1(\tau )-{\varphi }_2(\tau )|d\tau |$$$$\le L|{\int }_{t_0}^t||{\varphi }_1-{\varphi }_2|{|}_{\mathrm{\infty }}d\tau |=L|t-t_0|||{\varphi }_1-{\varphi }_2|{|}_{\mathrm{\infty }}\le Lϵ||{\varphi }_1-{\varphi }_2|{|}_{\mathrm{\infty }}$$\mathrm{对}$t$\mathrm{取}\mathrm{最}\mathrm{大}\mathrm{值}\mathrm{得}\mathrm{到}$||T\phi_1 - T\phi_2||\infty \le (L\epsilon) ||\phi_1 - \phi_2||\infty$。\mathrm{由}\mathrm{于}\mathrm{我}\mathrm{们}\mathrm{选}\mathrm{择}\mathrm{了}$\epsilon \le 1/(2L)$，\mathrm{常}\mathrm{数}$C = L\epsilon \le 1/2 < 1$。\mathrm{因}\mathrm{此}$T$ 是一个压缩映射。
  4. 应用巴拿赫不动点定理 (Apply Banach Fixed Point Theorem) 由于 $T$ 是完备度量空间 $\mathcal{M}$ 上的压缩映射，它在 $\mathcal{M}$ 中有唯一的不动点 (fixed point) $\phi^$。\mathrm{这}\mathrm{个}\mathrm{不}\mathrm{动}\mathrm{点}$\phi^$\mathrm{满}\mathrm{足}$\phi^* = T\phi^*$，\mathrm{这}\mathrm{意}\mathrm{味}\mathrm{着}\mathrm{它}\mathrm{解}\mathrm{积}\mathrm{分}\mathrm{方}\mathrm{程}，\mathrm{并}\mathrm{因}\mathrm{此}\mathrm{在}\mathrm{区}\mathrm{间}$[t_0-\epsilon, t_0+\epsilon]$ 上解 IVP。

Notes and Iteration

• 注释和迭代 (Notes and Iteration)
  • 皮卡-林德洛夫迭代 (Picard-Lindelöf Iteration): Banach 定理还告诉我们如何找到不动点：通过迭代。从一个初始猜测 ${\varphi }_0\in \mathcal{M}$ 开始 (通常是常数函数 ${\varphi }_0(t)=y_0$)，然后计算逐次逼近： $${\varphi }_{k+1}(t)=(T{\varphi }_k)(t)=y_0+{\int }_{t_0}^{t}f(\tau ,{\varphi }_k(\tau ))d\tau$$ 序列 ${\varphi }_k(t)$ 在 $[t_0-ϵ,t_0+ϵ]$ 上 一致收敛 (uniformly converges) 到唯一的解 ${\varphi }^{\ast }(t)$。

Iteration Examples

1. 皮卡-林德洛夫迭代法回顾 (Picard-Lindelöf Iteration Recap)

皮卡-林德洛夫迭代法构造了一个函数序列，其定义如下：

1. 初始函数 (Initial function): ${\varphi }_0(t)\equiv y_0$
2. 迭代步骤 (Iterative step): $${\varphi }_{k+1}(t)=y_0+{\int }_{t_0}^{t}f(\tau ,{\varphi }_k(\tau ))d\tau \text{for }k=0,1,2,\dots$$

定理证明的核心思想是利用 巴拿赫不动点定理 (Banach’s Fixed Point Theorem。我们定义了一个算子 (operator) T:

$$T\varphi (t)=y_0+{\int }_{t_0}^{t}f(\tau ,\varphi (\tau ))d\tau$$

在合适的函数空间 (配备了均匀收敛度量 d∞​) 中，如果 f 满足局部 Lipschitz 条件 (Lipschitz condition) 且 t 的区间足够小，那么 T 是一个 压缩映射 (contraction mapping) 。这意味着 T 有唯一的不动点 ϕ∗，满足 Tϕ∗=ϕ∗，这个不动点就是我们要求的 IVP 的解 。同时，从任意初始函数 (比如 ϕ0​≡y0​) 开始应用算子 T 进行迭代得到的序列 ϕk+1​=Tϕk​，会收敛到这个不动点 ϕ∗

2. 讲义中的例子 (Example from the Slides) 讲义中给出的例子是求解以下 IVP：

$$y^{\prime }=2ty\cap y(0)=0$$

我们来执行皮卡-林德洛夫迭代：

1. k = 0: $${\varphi }_0(t)\equiv y_0$$

2. k = 1:

$$

\begin{aligned}

\phi_1(t) &= y_0 + \int_{0}^t f(\tau, \phi_0(\tau)) d\tau \\

&= y_0 + \int_{0}^t 2\tau y_0 d\tau \\

&= y_0 + 2y_0 \left[ \frac{\tau^2}{2} \right]_0^t \\

&= y_0 + y_0 t^2 \\

&= y_0 (1 + t^2)

\end{aligned}\$\$

1. k = 2:

   $$

   \begin{aligned}

   \phi_2(t) &= y_0 + \int_{0}^t f(\tau, \phi_1(\tau)) d\tau \

   &= y_0 + \int_{0}^t 2\tau [y_0 (1 + \tau^2)] d\tau \

   &= y_0 + 2y_0 \int_{0}^t (\tau + \tau^3) d\tau \

   &= y_0 + 2y_0 \left[ \frac{\tau^2}{2} + \frac{\tau^4}{4} \right]_0^t \

   &= y_0 + y_0 t^2 + y_0 \frac{t^4}{2} \

   &= y_0 \left( 1 + t^2 + \frac{t^4}{2} \right) = y_0 \left( 1 + \frac{(t^2)^1}{1!} + \frac{(t^2)^2}{2!} \right)

   \end{aligned}

   $$

2. 推广到 k (General term):

   通过数学归纳法，我们可以得到 ϕk​(t) 的一般形式：

   $$

   \phi_k(t) = y_0 \sum_{i=0}^k \frac{(t^2)^i}{i!} = y_0 \left( 1 + \frac{t^2}{1!} + \frac{t^4}{2!} + \dots + \frac{t^{2k}}{k!} \right)

   $$

3. 取极限 (Taking the limit):

   当 k→∞ 时，我们得到：

   $$

   \phi(t) = \lim_{k \to \infty} \phi_k(t) = y_0 \sum_{i=0}^\infty \frac{(t^2)^i}{i!}

   $$

   所以，极限函数是：

   $$

   \phi(t) = y_0 e^{t^2}

   $$

Corollaries

Maximal Solutions

核心概念: 一个初值问题 (IVP) 的解可能只在某个有限的区间上定义。最大解指的是这个解在其“自然”的最大可能定义区间上的延伸。

1. 定义 一个 ODE $y^{\prime }=f(t,y)$ 的解 $\varphi :I\to {\mathbb{R}}^n$ (其中 $I$ 是一个区间) 被称为最大解 (maximal / non-extendable solution)，如果不存在另一个解 $\psi :J\to {\mathbb{R}}^n$，使得 $J$ 是一个严格包含 $I$ ($J⊋I$) 的区间，并且在 $I$ 上 $\psi (t)=\varphi (t)$。 换句话说，最大解是不能再被延伸到更大定义域上的解。

2. 推论 在存在唯一性定理的假设下 (即 $f:D\to {\mathbb{R}}^n$ 在开集 $D\subseteq \mathbb{R}\times {\mathbb{R}}^n$ 上连续，且关于 $y$ 局部 Lipschitz)，对于任意初始条件 $(t_0,y_0)\in D$：

1. 存在唯一最大解 (Existence and Uniqueness of Maximal Solution): 存在一个唯一的最大解 ${\varphi }_0:I_0\to {\mathbb{R}}^n$，满足 IVP $y^{\prime }=f(t,y)$ 且 $y(t_0)=y_0$。
   • 这里的 $I_0$ 就是这个最大解的定义区间，称为最大存在区间 (maximal interval of existence)。
2. 最大存在区间的性质 (Properties of the Maximal Interval):
   • $I_0$ 是一个开区间 (open interval)。
   • 对于 $I_0$ 的任何一个端点 $e$ (如果存在，即 $I_0$ 不是整个 $\mathbb{R}$)，当 $t\to e$ 时，解曲线 $(t,{\varphi }_0(t));t\in I_0$ 必然会任意接近区域 $D$ 的边界 $\partial D$。

3. 解释

• 唯一性保证了“最大”: 正是因为在满足条件的区域内，通过每一点的解都是唯一的，我们才能将所有包含 $(t_0,y_0)$ 的局部解“无缝拼接”起来，形成一个唯一的、不能再延长的最大解。
• 开区间 $I_0$: 如果 $I_0$ 包含某个端点 $a$，比如 $I_0=[a,b)$，那么 $(a,{\varphi }_0(a))$ 就在 $D$ 内部。根据存在性定理，我们可以在 $a$ 点附近找到一个解，这个解可以向 $a$ 的左侧延伸一点点，这就与 $I_0$ 是最大区间矛盾了。所以 $I_0$ 必须是开区间。
• 趋近边界 (Approaching the Boundary) 这点非常关键。它说明了解不能在区域 $D$ 的“内部”突然停止。如果解 ${\varphi }_0(t)$ 的定义区间 $I_0=(a,b)$ 是有限的，那么当 $t$ 趋近于 $a$ 或 $b$ 时，必然发生以下至少一种情况：

  • 解的值趋于无穷大，即 $

    \phi_0(t)

    \to \infty$。

  • 点 $(t,{\varphi }_0(t))$ 趋近于 $D$ 的边界上的某个点 $(e, y^)$，\mathrm{其}\mathrm{中}$(e, y^) \notin D$(\mathrm{这}\mathrm{里}$e=a$\mathrm{或}$e=b$)。

  • 技术比喻: 想象你在一个地图 $D$ 上沿着一条由 $f(t,y)$ 决定的路径行走。只要你还在地图内部，并且你的速度 ($y^{\prime }$) 是有界的（这通常由 $f$ 的连续性保证），你就总能再往前走一步。你被迫停下来只有两种可能：要么你走到了地图的边界 ($\partial D$)，要么你走向了无限远 ($

    y

    \to \infty$)。\mathrm{你}\mathrm{的}\mathrm{行}\mathrm{走}\mathrm{时}\mathrm{间}\mathrm{区}\mathrm{间}$I_0$ 必然是开放的，因为你永远不会“恰好停在”地图内部的某一点。

4. 证明思路

1. 构造 $I_0$ 与 ${\varphi }_0$: 将所有包含 $t_0$ 的、满足 IVP 的解的定义区间的并集定义为 $I_0$。利用唯一性定理证明在 $I_0$ 的重叠部分，不同的解取值相同，因此可以定义一个统一的函数 ${\varphi }_0$ 在 $I_0$ 上。 ${\varphi }_0$ 显然是最大解。
2. 证明 $I_0$ 是开区间: 使用反证法。假设 $I_0$ 包含某个端点 $a$，则 $(a,{\varphi }_0(a))\in D$。根据存在性定理，存在一个以 $a$ 为中心的区间上的解，这与 $I_0$ 的最大性矛盾。
3. 证明趋近边界: 使用反证法。假设当 $t\to a$ (左端点) 时，解曲线 $(t,{\varphi }_0(t));a<t\le t_0$ 包含在一个 $D$ 的紧子集 (compact subset) $C$ 内。由于 $f$ 在紧集 $C$ 上连续有界，可以证明 $\underset{t\to a^{+}}{lim}{\varphi }_0(t)$ 存在（记为 $y_a$）。并且 $(a,y_a)$ 必须在 $D$ 内 (否则就趋近边界了)。我们可以将 ${\varphi }_0$ 连续延拓到 $a$ 点，定义 ${\varphi }_0(a)=y_a$。但这又回到了 $I_0$ 包含端点 $a$ 的情况，与 $I_0$ 是开区间矛盾。

相关例题

1. 最大存在区间的性质 (Properties of the Maximal Interval):

   • 这是解决这类问题的关键！如果区间的端点 $a$ 或 $b$ 是有限的 (即 $a>-\mathrm{\infty }$ 或 $b<+\mathrm{\infty }$)，那么当 $t$ 趋近于这个有限端点时，解曲线 $(t,{\varphi }_0(t))$ 必须**趋近于区域 $D$ 的边界 $\partial D$ 或者趋向于无穷大 ($

     \phi_0(t)

     \to \infty$)**。

   • 技术比喻 (Technical Analogy): 想象你在地图 $D$ 上按照微分方程 $y^{\prime }=f(t,y)$ 指示的路线行走。只要你还在地图内部，并且你的速度（由 $f$ 的连续性保证通常有界），你总能再往前走。你被迫停下来的唯一可能，要么是你走到了地图的边界 (boundary)，要么是你走向了无限远 (infinity)。你的行走时间区间 $(a,b)$ 不可能在你还在地图内部舒适区域的时候就突然结束。
2. 特殊情况：自治系统 $y^{\prime }=f(y)$ 且 $D=\mathbb{R}\times {\mathbb{R}}^n$ (或 $\mathbb{R}\times \mathbb{R}$):
   • 对于 Self Review Note 中的例题，方程都是自治的 $y^{\prime }=f(y)$，且 $f(y)$ 都是多项式或简单的函数，其定义域 $D$ 通常是整个 $\mathbb{R}\times \mathbb{R}$。

   • 在这种情况下，区域 $D$ 没有有限的边界。因此，最大存在区间 $(a,b)$ 的端点 $a$ 或 $b$ 是有限的唯一原因是解 $y(t)$ 在有限时间内趋于无穷大 (blows up to infinity)，即 $

     y(t)

     \to \infty$。

解题策略：判断最大存在区间的形式

对于自治方程 $y^{\prime }=f(y)$，其中 $f(y)$ 在整个 $\mathbb{R}$ 上都满足 EUT 条件（例如 $f(y)$ 是多项式），我们需要判断最大存在区间 $I_0=(a,b)$ 的形式，即判断 $a$ 和 $b$ 是否为有限值。

1. 检查 EUT 条件:
   • 确认 $f(y)$ 是连续的且关于 $y$ 局部 Lipschitz。对于多项式 $f(y)$，这是自动满足的。因此，存在唯一的最大解，其存在区间为开区间 $(a,b)$。
2. 分析解的走向:
   • 计算初始点的导数值 $y^{\prime }(t_0)=f(y(t_0))=f(y_0)$。
   • 如果 $f(y_0)>0$，解 $y(t)$ 在 $t>t_0$ 时会增加。
   • 如果 $f(y_0)<0$，解 $y(t)$ 在 $t>t_0$ 时会减少。
   • 如果 $f(y_0)=0$，则 $y_0$ 是平衡点，解是 $y(t)\equiv y_0$，最大存在区间是 $(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$。
3. 判断有限时间爆破 (Finite Time Blow-up):
   • 核心思想: 解是否能在有限时间内趋于 $+\mathrm{\infty }$ 或 $-\mathrm{\infty }$？这取决于 $f(y)$ 在 $y\to \pm \mathrm{\infty }$ 时的增长速度。
   • 启发式积分检验 (Heuristic Integral Test):
     • 考察右端点 $b$ (对应 $t\to b^{-}$): 如果解 $y(t)$ 趋向 $+\mathrm{\infty }$，我们需要看积分 ${\int }_{y_0}^{\mathrm{\infty }}\frac{dy}{f(y)}$ (或对于某个大数 $C$，考察 ${\int }_C^{\mathrm{\infty }}\frac{dy}{f(y)}$) 是否收敛 (converges)。
       • 如果积分收敛，意味着 $y$ 只需要“有限的时间”就能达到无穷大，因此右端点 $b$ 是有限的 ($b<+\mathrm{\infty }$)。
       • 如果积分发散 (diverges)，意味着 $y$ 需要“无限的时间”才能达到无穷大，因此右端点 $b$ 是无限的 ($b=+\mathrm{\infty }$)。
     • 考察左端点 $a$ (对应 $t\to a^{+}$): 如果解 $y(t)$ 趋向 $-\mathrm{\infty }$，我们需要看积分 ${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{y_0}\frac{dy}{-f(y)}$ (或对于某个大负数 $-C$，考察 ${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{-C}\frac{dy}{-f(y)}$) 是否收敛。
       • 如果积分收敛，意味着 $y$ 只需要“有限的时间”就能达到负无穷大，因此左端点 $a$ 是有限的 ($a>-\mathrm{\infty }$)。
       • 如果积分发散，意味着 $y$ 需要“无限的时间”才能达到负无穷大，因此左端点 $a$ 是无限的 ($a=-\mathrm{\infty }$)。
   • 积分收敛/发散的判断:
     • 比较 $f(y)$ 与 $y^p$ 的增长阶数。积分 ${\int }^{\mathrm{\infty }}\frac{dy}{y^p}$ 在 $p>1$ 时收敛，在 $p\le 1$ 时发散。
     • 如果当 $y\to \mathrm{\infty }$ 时，$f(y)$ 的增长速度快于 $y$ (例如 $y^2,y^5,e^y$)，则 ${\int }^{\mathrm{\infty }}\frac{dy}{f(y)}$ 倾向于收敛 $⟹b$ 有限。
     • 如果当 $y\to \mathrm{\infty }$ 时，$f(y)$ 的增长速度等于或慢于 $y$ (例如 $y,\sqrt{y},\ln y$)，则 ${\int }^{\mathrm{\infty }}\frac{dy}{f(y)}$ 倾向于发散 $⟹b=+\mathrm{\infty }$。
     • 对 $y\to -\mathrm{\infty }$ 的情况作类似分析 (注意分母是 $-f(y)$)。
4. 结合初始条件和平衡点:
   • 解曲线不能穿过平衡点。如果解趋向于某个平衡点 $y_{eq}$，则需要看积分 ${\int }^{y_{eq}}\frac{dy}{f(y)}$ 是否收敛。如果发散（通常是这样，例如 $f(y)$ 在 $y_{eq}$ 附近表现像 $c(y-y_{eq})$），则需要无限时间到达平衡点。
5. 确定区间形式: 根据对 $a$ 和 $b$ 有限性的判断，选择对应的区间形式：$(a,b)$, $(a,+\mathrm{\infty })$, $(-\mathrm{\infty },b)$, 或 $(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$。

例题分析

Question 12 (第一题): $y^{\prime }=y^5+y$, $y(0)=1$. Interval form?

1. EUT 条件: $f(y)=y^5+y$ 是多项式，连续且 $\partial f/\partial y=5y^4+1$ 连续。EUT 满足。最大解区间 $I_0=(a,b)$ 是开区间。
2. 解的走向: $y^{\prime }(0)=f(1)=1^5+1=2>0$。解 $y(t)$ 从 $y=1$ 开始随 $t$ 增加而增加。
3. 判断右端点 $b$: 当 $y\to +\mathrm{\infty }$ 时，$f(y)\approx y^5$。增长速度快于 $y$ ($p=5>1$)。
   • 检验积分 ${\int }^{\mathrm{\infty }}\frac{dy}{y^5+y}$。因为被积函数在 $y\to \mathrm{\infty }$ 时行为像 $1/y^5$，根据 p-积分判别法，此积分收敛。
   • 结论：解将在有限时间内爆破到 $+\mathrm{\infty }$。因此 $b$ 是有限的 ($b<+\mathrm{\infty }$)。
4. 判断左端点 $a$: 当 $t$ 减小时 ($t<0$)，解 $y(t)$ 从 $y=1$ 开始减少。它会趋向何处？ $f(y)=y(y^4+1)$，唯一的平衡点是 $y=0$。由于解不能穿过平衡点，且 $y(0)=1>0$，解 $y(t)$ 在 $t\to -\mathrm{\infty }$ 时必然趋向于 $y=0$。
   • 检验到达 $y=0$ 是否需要无限时间。考察积分 ${\int }_1^{ϵ}\frac{dy}{y^5+y}$ (其中 $ϵ\to 0^{+}$)。当 $y\to 0^{+}$ 时，$f(y)\approx y$。积分 ${\int }^{ϵ}\frac{dy}{y}$ 发散 (像 $\ln y$)。
   • 结论：解需要无限时间才能到达 $y=0$。因此 $a=-\mathrm{\infty }$。
5. 区间形式: 结合 $a=-\mathrm{\infty }$ 和 $b$ 有限，最大存在区间形式为 $(-\mathrm{\infty },b)$。

Question 13 (第二题): $y^{\prime }=y^2+y$, $y(0)=y_0>0$. Interval form?

1. EUT 条件: $f(y)=y^2+y$ 是多项式，EUT 满足。$I_0=(a,b)$ 是开区间。
2. 解的走向: $y^{\prime }(0)=f(y_0)=y_0(y_0+1)$。因为 $y_0>0$，所以 $y^{\prime }(0)>0$。解 $y(t)$ 从 $y=y_0$ 开始随 $t$ 增加而增加。
3. 判断右端点 $b$: 当 $y\to +\mathrm{\infty }$ 时，$f(y)\approx y^2$。增长速度快于 $y$ ($p=2>1$)。
   • 检验积分 ${\int }^{\mathrm{\infty }}\frac{dy}{y^2+y}$。行为像 ${\int }^{\mathrm{\infty }}\frac{dy}{y^2}$，收敛。
   • 结论：解将在有限时间内爆破到 $+\mathrm{\infty }$。$b$ 是有限的 ($b<+\mathrm{\infty }$)。
4. 判断左端点 $a$: 当 $t$ 减小时，解 $y(t)$ 从 $y=y_0>0$ 开始减少。平衡点是 $y=0$ 和 $y=-1$。解不能穿过 $y=0$。因此，当 $t\to -\mathrm{\infty }$ 时，解 $y(t)$ 趋向于 $y=0$。
   • 检验到达 $y=0$ 是否需要无限时间。考察积分 ${\int }_{y_0}^{ϵ}\frac{dy}{y^2+y}$ ($ϵ\to 0^{+}$)。当 $y\to 0^{+}$ 时，$f(y)\approx y$。积分 ${\int }^{ϵ}\frac{dy}{y}$ 发散。
   • 结论：需要无限时间才能到达 $y=0$。$a=-\mathrm{\infty }$。
5. 区间形式: 结合 $a=-\mathrm{\infty }$ 和 $b$ 有限，最大存在区间形式为 $(-\mathrm{\infty },b)$。

Question 12 (第三题): $y^{\prime }=y^3+1$, $y(0)=0$. Interval form?

1. EUT 条件: $f(y)=y^3+1$ 是多项式，EUT 满足。$I_0=(a,b)$ 是开区间。
2. 解的走向: $y^{\prime }(0)=f(0)=0^3+1=1>0$。解 $y(t)$ 从 $y=0$ 开始随 $t$ 增加而增加。
3. 判断右端点 $b$: 当 $y\to +\mathrm{\infty }$ 时，$f(y)\approx y^3$。增长速度快于 $y$ ($p=3>1$)。
   • 检验积分 ${\int }^{\mathrm{\infty }}\frac{dy}{y^3+1}$。行为像 ${\int }^{\mathrm{\infty }}\frac{dy}{y^3}$，收敛。
   • 结论：解将在有限时间内爆破到 $+\mathrm{\infty }$。$b$ 是有限的 ($b<+\mathrm{\infty }$)。
4. 判断左端点 $a$: 让我们考虑 $t<0$ 的情况。 $y^{\prime }(0)=1>0$。这意味着在 $t=0$ 的一个小邻域内， $y(t)$ 是关于 $t$ 递增的。因此对于 $t$ 略小于 0， $y(t)$ 应该略小于 0。 当 $y\in (-1,0)$ 时，$y^3$ 在 $(-1,0)$ 之间，$y^3+1>0$。所以 $y^{\prime }(t)>0$。这意味着如果解进入了 $(-1,0)$ 区间，它会倾向于增加（朝 $y=0$ 移动）。 当 $y<-1$ 时，$y^3<-1$，$y^3+1<0$。所以 $y^{\prime }(t)<0$。 平衡点是 $y=-1$ (因为 $y^3+1=0$)。 解从 $y(0)=0$ 出发。当 $t$ 减小时，它会趋向平衡点 $y=-1$ 吗？是的，因为在 $(-1,0)$ 区间 $y^{\prime }>0$，在 $(-\mathrm{\infty },-1)$ 区间 $y^{\prime }<0$，所以 $y=-1$ 是一个稳定平衡点 (stable equilibrium)。解 $y(t)$ 在 $t\to -\mathrm{\infty }$ 时会趋向 $y=-1$。

   • 检验到达 $y=-1$ 是否需要无限时间。考察积分 ${\int }_0^{-ϵ}\frac{dy}{y^3+1}$ (其中 $ϵ\to -1^{+}$)。当 $y\to -1^{+}$ 时，$y^3+1=(y+1)(y^2-y+1)\approx 3(y+1)$。积分 ${\int }^{-1}\frac{dy}{3(y+1)}$ 发散 (像 $\ln

     y+1

     $)。

   • 结论：需要无限时间才能到达 $y=-1$。$a=-\mathrm{\infty }$。
5. 区间形式: 结合 $a=-\mathrm{\infty }$ 和 $b$ 有限，最大存在区间形式为 $(-\mathrm{\infty },b)$。

高阶常微分方程 (Higher-Order ODEs)

高阶微分方程是指导数阶数大于等于 2 的微分方程，一般表示为：

$$y^{(n)}=f(t,y,y^{\prime },\dots ,y^{(n-1)})$$

其中 $f:D\to \mathbb{R}$，$D\subseteq \mathbb{R}\times {\mathbb{R}}^n$ 是开集。

高阶 ODE 与一阶系统的关系

为了将存在唯一性定理应用于高阶 ODE，我们需要将其转化为一阶 ODE 系统：

1. 首先进行阶降，设置 $y_0=y$, $y_1=y^{\prime }$, …, $y_{n-1}=y^{(n-1)}$
2. 将原方程转化为向量形式 ${\mathbf{y}}^{\prime }=\mathbf{f}(t,\mathbf{y})$

对于向量函数 $\mathbf{f}$，如果原函数 $f$ 满足关于 $y$ 的局部利普希茨条件 (Lipschitz condition)，那么向量函数 $\mathbf{f}$ 也满足关于 $\mathbf{y}$ 的局部利普希茨条件。

高阶微分方程的存在唯一性定理

定理（高阶微分方程的存在唯一性）： 假设 $f:D\to \mathbb{R}$，$D\subseteq \mathbb{R}\times {\mathbb{R}}^n$ 是连续函数，并且在 $D$ 上关于 $\mathbf{y}$ 满足局部利普希茨条件。令 $(a,b)=(a,b_0,\dots ,b_{n-1})\in D$。

唯一性

1. 如果 $\varphi ,\psi :I\to \mathbb{R}$ 是以下初值问题的解： $$y^{(n)}=f(t,y,y^{\prime },\dots ,y^{(n-1)})\wedge y^{(i)}(a)=b_i\text{ for }0\le i\le n-1$$ 则 $\varphi (t)=\psi (t)$ 对所有 $t\in I$ 成立。

存在性

1. 存在 $ϵ>0$ 和函数 $\varphi :[a-ϵ,a+ϵ]\to \mathbb{R}$ 是上述初值问题的解。

需要注意的是，如果 $f$ 的偏导数 $\frac{\partial f}{\partial y_0},\dots ,\frac{\partial f}{\partial y_{n-1}}$ 是连续的，那么上述定理的条件就满足了。

示例

Airy 方程是二阶 ODE：$y^{″}=ty$, $(t,y)\in {\mathbb{R}}^2$

通过阶降：$y_0=y$, $y_1=y^{\prime }$, $\mathbf{y}=(y_0,y_1)=(y,y^{\prime })$，得到等价的二维系统：

$${\mathbf{y}}^{\prime }=\left(\begin{array}{c}{y}_0^{\prime }\\ y_1^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{y}^{\prime }\\ y^{″}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ t{y}_0\end{array}\right)=\mathbf{f}(t,\mathbf{y})$$

其中 $\mathbf{f}(t,\mathbf{y})=\mathbf{f}(t,y_0,y_1)=(y_1,t{y}_0)$，$(t,y_0,y_1)\in {\mathbb{R}}^3$。

由于 $\mathbf{f}$ 是连续可微的（甚至是 $C^{\mathrm{\infty }}$ 类的），根据性质，$\mathbf{f}$ 满足关于 $\mathbf{y}$ 的局部利普希茨条件。

积分曲线 (Integral Curves)

分类定义

1. 对于显式或隐式定义的 ODE (Explicit or Implicit ODEs):
   • 考虑形如 $y^{\prime }=f(t,y)$ 或更一般的隐式形式 $f(t,y,y^{\prime })=0$ 的一阶标量 ODE。
   • 其积分曲线 (Integral Curve) 被定义为一个极大解 (Maximal Solution) $\varphi :I\to \mathbb{R}$ 的图像 (graph)。
   • 这个图像是在 $t$-$y$ 平面上的点集： $$(t,\varphi (t));t\in I$$
   • 这里的“极大解”意味着这个解 $\varphi$ 定义在尽可能大的区间 $I$ 上，不能再被拓展到包含 $I$ 的更大区间上。
   • 技术比喻: 想象一下方程 $y^{\prime }=f(t,y)$ 描述了一个在平面上运动的点的速度 $(1,y^{\prime })$ 如何依赖于当前位置 $(t,y)$。一个极大解 $\varphi (t)$ 就描述了这个点的一条具体运动轨迹。这条轨迹画出来的完整路径，就是积分曲线。
2. 对于 “微分形式” 的 ODE (Differential Form ODEs):
   • 考虑形如 $M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$ 的方程。这种形式在物理和工程中也很常见。
   • 其积分曲线 (Integral Curve) 被定义为一个极大解 (Maximal Solution) $\gamma :I\to {\mathbb{R}}^2$ 的值域 (range) $\gamma (I)$。
   • 这里，$\gamma (t)=(x(t),y(t))$ 是一个光滑的 (smooth) 参数曲线，并且对于所有 $t\in I$ 满足: $$M(x(t),y(t))x^{\prime }(t)+N(x(t),y(t))y^{\prime }(t)=0$$
   • 这里的“极大性”是指，不存在另一个解，其值域严格包含 $\gamma (I)$。也就是说，这条曲线本身是“最长的”满足条件的路径。
   • 技术比喻: 这种形式不再直接要求 $y$ 是 $x$ 的函数 (或者 $t$ 的函数)。它更像是在描述平面上每一点 $(x,y)$ 的一个允许的运动方向 (垂直于向量 $(M,N)$ 的方向)。积分曲线就是沿着这些允许方向光滑地移动所形成的完整路径，比如一个圆圈。

两种定义的联系与区别

Slide 40 给出了一个很好的例子来说明这两者之间的关系：$xdx+ydy=0$。

• 按照 定义 2，我们寻找参数曲线 $(x(t),y(t))$ 使得 $x(t)x^{\prime }(t)+y(t)y^{\prime }(t)=0$。这等价于 $\frac{d}{dt}(x(t{)}^2+y(t{)}^2)=0$。

• 这意味着 $x(t{)}^2+y(t{)}^2=C$ (常数)。所以，这个微分形式方程的积分曲线是圆心在原点的圆 (circles) $x^2+y^2=R^2$ (其中 $R=\sqrt{C}>0$，排除了 $R=0$ 的情况因为要求解是光滑曲线，并且极大性排除了圆弧段)。

• 现在，我们将它改写成 定义 1 中的显式形式 $y^{\prime }=dy/dx=-x/y$。
• 这个显式 ODE 在 $y=0$ (即 x-轴) 上是未定义的。
• 它的解是 $y(x)=\pm \sqrt{R^2-x^2}$，定义域为 $x\in (-R,R)$。

• 这些解的图像 (按照 定义 1 的积分曲线) 是上半圆 (upper semi-circles) 和下半圆 (lower semi-circles)。

• 关键点: 一个由 $Mdx+Ndy=0$ 定义的积分曲线 (例如一个完整的圆) 可能对应于其显式形式 $y^{\prime }=-M/N$ 的多个积分曲线 (例如上半圆和下半圆)。这种“分裂”通常发生在 $N(x,y)=0$ 的点上，这些点对应于显式 ODE $y^{\prime }=-M/N$ 的垂直切线或奇点。

积分曲线的唯一性

这个推论给出了积分曲线唯一性的条件：

• 条件:
  1. $M(x,y)$ 和 $N(x,y)$ 在开集 $D\subseteq {\mathbb{R}}^2$ 上是 $C^1$ 函数 (即具有连续的一阶偏导数)。
  2. 方程 $M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$ 在 $D$ 中没有奇点 (singular points)。奇点是指同时满足 $M(x,y)=0$ 和 $N(x,y)=0$ 的点。

• 结论: 如果满足这些条件，那么对于 $D$ 中的每一个点，恰好有一条积分曲线穿过该点。

• 理解:
  • 非奇点 $(x_0,y_0)$ 意味着向量 $(M(x_0,y_0),N(x_0,y_0))$ 非零。
  • 积分曲线在该点的切线方向必须与 $(M,N)$ 垂直，因此切线方向是唯一确定的。
  • 由于切线不能同时水平 ($N\ne 0$) 和垂直 ($M\ne 0$)，我们总可以在该点附近将曲线表示为 $y=y(x)$ (如果 $N\ne 0$) 或 $x=x(y)$ (如果 $M\ne 0$)。
  • 对应的显式 ODE $dy/dx=-M/N$ 或 $dx/dy=-N/M$ 在局部满足我们之前学过的存在唯一性定理的条件 (因为 $M,N$ 是 $C^1$ 保证了局部 Lipschitz 条件)，从而保证了局部解的存在唯一性。
  • 结合解的极大性，可以证明全局唯一性。

重要备注和反例

• Remark: 如果两条积分曲线相交，那么交点必定是奇点。因为在非奇点处，根据推论，只有一条积分曲线通过。
• Afternote (Counterexample): 考虑 $2ydx-xdy=0$。
  • 这里 $M(x,y)=2y$, $N(x,y)=-x$ 都是 $C^1$ (实际上是 $C^{\mathrm{\infty }}$)。
  • 唯一的奇点是 $(0,0)$，因为 $M=0⟹y=0$, $N=0⟹x=0$。
  • 在非奇点区域 ${\mathbb{R}}^2\setminus (0,0)$ 中，推论的条件满足。但是，通过 $(0,y_0)$ (其中 $y_0\ne 0$) 的解只有 y-轴 ($x=0$) 本身。而通过 $(x_0,y_0)$ (其中 $x_0\ne 0$) 的解却有无穷多条! 例如，我们可以沿着抛物线 $y=(y_0/x_0^2)x^2$ 到达原点，然后从原点沿着任意一条抛物线 $y=C{x}^2$ (或者 $x=0$ 的另一半) 离开。
  • 为什么推论在这里似乎失效了？ 推论保证在非奇点区域 D’ 内，过每一点的积分曲线是唯一的。但是这个例子表明，不同的积分曲线可以在奇点 (0,0) 处汇合或分叉，导致即使在非奇点区域，从全局来看唯一性也可能被破坏。Slide 44 的图形象地展示了这一点，所有 $y=C{x}^2$ 的曲线都在原点相交。

  • 这与我们之前看到的 $y’ = \sqrt{

    y

    }$(Slide18)\mathrm{不}\mathrm{同}，\mathrm{那}\mathrm{个}\mathrm{例}\mathrm{子}\mathrm{是}$f(t, y) = \sqrt{

    y

    }$\mathrm{在}$y=0$\mathrm{处}\mathrm{不}\mathrm{满}\mathrm{足}Lipschitz\mathrm{条}\mathrm{件}\mathrm{导}\mathrm{致}\mathrm{非}\mathrm{唯}\mathrm{一}\mathrm{性}。\mathrm{而}$2y dx - x dy = 0$\mathrm{的}\mathrm{例}\mathrm{子}\mathrm{中}$M, N$\mathrm{都}\mathrm{是}$C^1$，问题出在奇点的行为。

总结来说，积分曲线为我们提供了一种几何上理解微分方程解的方式。对于 $y^{\prime }=f(t,y)$，它是解的图像。对于 $Mdx+Ndy=0$，它是满足约束的光滑参数曲线的值域。在没有奇点的良好条件下 ($M,N$ 是 $C^1$)，通过每一点的积分曲线是唯一的。但在奇点处或附近，行为可能变得复杂，唯一性可能丧失。

Example 判断解的存在唯一

要判断解的唯一性，我们主要依赖皮卡-林德洛夫定理 (Picard-Lindelöf Theorem)，它同时保证了解的存在性和唯一性。

定理内容 (简化版，针对一阶方程 $y^{\prime }=f(t,y)$)： 假设函数 $f(t,y)$ 在包含点 $(t_0,y_0)$ 的某个开区域 (open region) $D\subseteq {\mathbb{R}}^2$ 内满足以下两个条件：

1. $f(t,y)$ 在 $D$ 内是连续的 (continuous)。
2. $f(t,y)$ 在 $D$ 内关于变量 $y$ 满足局部利普希茨条件 (locally Lipschitz condition)。

那么，对于初始值问题 (Initial Value Problem, IVP): $$y^{\prime }=f(t,y),y(t_0)=y_0$$ 在包含 $t_0$ 的某个区间 $I$ 上，存在 (exists) 且唯一 (unique) 一个解 $\varphi (t)$。

关键点：利普希茨条件 (Lipschitz Condition)

• 定义: 函数 $f(t,y)$ 在区域 $D$ 内关于 $y$ 满足 Lipschitz 条件，是指存在一个常数 $L>0$ (利普希茨常数)，使得对于区域 $D$ 内任意两个点 $(t,y_1)$ 和 $(t,y_2)$ (注意 $t$ 值相同)，都有： $$|f(t,y_1)-f(t,y_2)|\le L|y_1-y_2|$$

• 实用判据: 检验 Lipschitz 条件的一个非常实用的方法是检查偏导数 $\frac{\partial f}{\partial y}$ 的连续性。

  命题 (Proposition): 如果偏导数 $\frac{\partial f}{\partial y}$ 在包含 $(t_0,y_0)$ 的开区域 $D$ 内存在且连续 (exists and is continuous)，那么 $f(t,y)$ 在该区域内关于 $y$ 满足局部 Lipschitz 条件。

• 不唯一性的根源: 当 $f(t,y)$ 在初始点 $(t_0,y_0)$ 附近不满足 Lipschitz 条件时，唯一性就可能被破坏。这通常发生在 $\frac{\partial f}{\partial y}$ 在 $(t_0,y_0)$ 附近无界 (unbounded) 的情况。

解题策略

1. 快速排除线性选项 (Eliminate Linear Options):
   • 首先扫描所有选项，找出线性 ODE (Linear ODE)。线性 ODE 通常形如 $y^{\prime }+p(t)y=q(t)$ 或 $y^{\prime }=a(t)y+b(t)$。
   • 线性 ODE 在其系数 $p(t),q(t)$ (或 $a(t),b(t)$) 连续的区间内，其解对于给定的初始条件通常是唯一的 (除非系数在 $t_0$ 处有奇点)。因此，如果题目要求找出解不唯一或可能不唯一的选项，线性 ODE 通常可以优先排除。
   • 笔记中的例子 (Page 25): $y^{″}=\sqrt{t}y$, $y^{\prime }=ty$, $t^2{y}^{″}=y$ 都被视为 (关于 $y$ 及其导数) 线性的，倾向于有唯一解。
2. 重点关注非线性选项中的“危险信号” (Focus on “Danger Signals” in Non-linear Options):
   • 在剩下的非线性选项中，寻找那些已知容易破坏 Lipschitz 条件的函数形式，尤其是在初始值 $y_0$ 附近。这些是导致解不唯一的“高危”特征：

     • 绝对值函数 (Absolute Value): 涉及 $

       y

       $\mathrm{或}$

       y’

       $。\mathrm{例}\mathrm{如}$y’ =

       y

       $\mathrm{或}$y’ = t

       y

       $。\mathrm{函}\mathrm{数}\mathrm{在}$y=0$ 点不可微，不满足 Lipschitz 条件。

     • 分数次幂或根式 (Fractional Powers/Roots): 涉及 $\sqrt{y}$, $y^{1/3}$, $y^{2/3}$ 等。例如 $y^{\prime }=y^{2/3}$ 或 $y^{″}=t\sqrt{y}$。这类函数在 $y=0$ 处的导数 ($\frac{\partial f}{\partial y}$) 会趋于无穷，不满足 Lipschitz 条件。
     • 导数的非线性函数 (Non-linear Function of Derivative): 涉及 $(y^{\prime }{)}^k$ (k>1) 或其他关于 $y^{\prime }$ 的复杂函数。例如 $(y^{\prime }{)}^3=y$ (等价于 $y^{\prime }=y^{1/3}$)。
     • 分母含 $y$ (Variable y in Denominator): 涉及 $1/y$, $1/\sqrt{y}$ 等。例如 $y^{\prime }=1/y$。函数在 $y=0$ 处未定义或导数无界。

     • 对数函数 (Logarithm): 涉及 $y \ln

       y

       $。\mathrm{函}\mathrm{数}\mathrm{在}$y=0$ 处导数无界。

3. 对比与选择 (Compare and Select):

   • 如果存在多个包含“危险信号”的非线性选项，优先选择那些最符合你在课堂或笔记中遇到的经典非唯一性例子的选项。例如 $y’ = \sqrt{

     y

     }$,$y’ = y^{2/3}$,$y’ = y^{1/3}$ 是非常典型的例子。

   • 比较“危险”的程度。通常，分数次幂/根式和绝对值是考试中最常见的陷阱。
4. 回顾教案例题 (Recall Lecture Examples):
   • 回忆老师在课上或者笔记中强调过的导致非唯一性的典型方程，看哪个选项与其最相似。

总结

求解关于 ODE 解唯一性的问题，关键在于理解利普希茨条件 (Lipschitz condition) 及其与偏导数 $\partial f/\partial y$ 连续性的关系。

• 主要流程：
  1. 识别 ODE 是线性的还是非线性的。线性 ODE 通常解唯一 (需注意系数奇点)。
  2. 对于非线性 ODE $y^{\prime }=f(t,y)$，检查函数 $f(t,y)$ 关于 $y$ 的偏导数 $\partial f/\partial y$。
  3. 判断 $\partial f/\partial y$ 是否在初始点 $(t_0,y_0)$ 附近连续。如果连续，则局部 Lipschitz 条件满足，解在该点附近是唯一的。
  4. 如果 $\partial f/\partial y$ 在 $(t_0,y_0)$ 附近无界 (例如因为 $y=y_0$ 导致分母为零，或出现 $y^{-k}$ 形式且 $y_0=0$)，则 Lipschitz 条件不满足，解可能不唯一。

  5. 特别留意包含 $\sqrt{y}$, $

     y

     $,$y^{p/q}$($q>p\ge 1$)\mathrm{等}\mathrm{形}\mathrm{式}\mathrm{的}\mathrm{项}，\mathrm{它}\mathrm{们}\mathrm{在}$y=0$ 附近是典型的非 Lipschitz “危险信号”。

• 选择题技巧： 优先排除线性选项，然后在非线性选项中寻找上述“危险信号”。与课堂/笔记中的经典非唯一性例子进行比对。