#Math285

Separable Differential Equations

可分离微分方程

1. 形式
Separable Differential Equations（一阶）为一阶微分方程中的一个子类，形如：

$$ \begin{align} & M(x) + N(y) \frac{dy}{dx} = 0
& \text{or}
& M(x)dx + N(y)dy = 0 \end{align} $$

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2. 求解
核心即为将自变量与因变量对应的函数分别分离，然后直接积分即可
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3. 核心思想
对于可分离形式的微分方程，其可以写为:

$$ \begin{align} & y’ = \frac{dy}{dx} = \frac{M(x)}{N(y)}
& M(x)dx - N(y)dy = 0 \end{align} $$

然后直接两边同时积分，同时结合初值即可得到唯一解（注意积分起点为初值）（一般来说先得到的为 implicit form 形式，可根据化简的难易程度决定是否化为 explicit form）

[!warning] 注意
求解定义域的过程不要只关注原始方程以及最终方程

  • 关注原始方程对于 y 的要求反推对于 x 的要求
  • 中间每个过程都要注意满足初始要求

Example

注意整体定义域被 0 分成了两段，需要根据初始值确定唯一解

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General Remarks

[!tip] Summary

  • $f_{2}$ 的零点（如果有）将 $J$ 划分成开子区间，在每个子区间上，初值问题都有局部解的存在性和唯一性
  • 对于任何满足 $f_{2}(y_{0})=0$ 的点 $y_{0}$ ​，有常值解 $y(x)=y_{0}$
  • 每个一阶可分离微分方程均有解，但在整个定义域上解的唯一性需要额外假设
    ​

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线性一阶微分方程与一阶可分离方程的区别
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Logistic Equation

形式

$$ y’ = ay -by^{2} $$

其中 $a,b>0$
该方程用来作为描述人口增长的数学模型

解

1. 稳态解 ->即右式的零点

$$ \begin{align} & y \equiv 0
& y \equiv \frac{a}{b} \end{align} $$

2. 一般解

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渐近线的性质

1. 参数 $d$ 的意义

参数 $d$ 与初值 $y_0 = y(0)$ 的关系为：

$$ d = \frac{a}{y_0} - b $$

因此，$y_0$ 的不同取值决定了解的不同行为：

  • 当 $y_0 = 0$ 时，$d = \infty$，对应稳态解 $y \equiv 0$
  • 当 $y_0 = a/b$ 时，$d = 0$，对应稳态解 $y \equiv a/b$
  • 当 $0 < y_0 < a/b$ 时，$d > 0$
  • 当 $y_0 > a/b$ 时，$d < 0$ 且 $d > -b$
  • 当 $y_0 < 0$ 时，$d < -b$

2. 渐近线行为详细分析

情况 1: $d > 0$ (对应 $0 < y_0 < a/b$)

  • 定义域：$t \in \mathbb{R}$（即解在整个实数轴上有定义）
  • 单调性：解 $y(t)$ 严格单调递增
  • 水平渐近线：
    • $\lim_{t\to+\infty} y(t) = \frac{a}{b}$
    • $\lim_{t\to-\infty} y(t) = 0$
  • 拐点：解曲线有一个拐点，出现在 $t = t_h$，其中 $t_h = (\ln d - \ln b)/a$
  • 凸凹性：
    • 在 $[-\infty, t_h]$ 上函数是凸的（因为 $0 < y(t) < a/2b$）
    • 在 $[t_h, +\infty]$ 上函数是凹的

这种情况下的曲线呈现典型的 S 形（sigmoid 形状），被称为 logistic 增长曲线。

情况 2: $d < 0$ 且 $-b < d < 0$ (对应 $y_0 > a/b$)

  • 垂直渐近线：$t_\infty = (\ln(-d) - \ln b)/a < 0$
  • 定义域：$(t_\infty, +\infty)$
  • 单调性：解 $y(t)$ 严格单调递减
  • 曲线行为：
    • $\lim_{t \downarrow t_\infty} y(t) = +\infty$
    • $\lim_{t\to+\infty} y(t) = \frac{a}{b}$
  • 凸凹性：在整个定义域内保持凸性

情况 3: $d < -b$ (对应 $y_0 < 0$)

  • 垂直渐近线：$t_\infty = (\ln(-d) - \ln b)/a > 0$
  • 定义域：$(-\infty, t_\infty)$
  • 曲线行为：
    • $\lim_{t\to-\infty} y(t) = 0$
    • $\lim_{t \uparrow t_\infty} y(t) = -\infty$

情况 4: $d = -b$ (特殊情况)

这种情况下，解有两个分支，它们在 $t_\infty = 0$ 处有垂直渐近线。

3. 最大解的分类

从本质上看，Logistic 方程只有 5 种不同的最大解（考虑水平平移后）：

  1. 常值解 $y(t) \equiv 0$, $t \in \mathbb{R}$
  2. 常值解 $y(t) \equiv a/b$, $t \in \mathbb{R}$
  3. 非常值解 $y_1(t) = \frac{a}{b(1+e^{-at})}$, $t \in \mathbb{R}$（完整的 S 曲线）
  4. 非常值解 $y_2(t) = \frac{a}{b(1-e^{-at})}$, $t \in (-\infty, 0)$（左半支）
  5. 非常值解 $y_3(t) = \frac{a}{b(1-e^{-at})}$, $t \in (0, +\infty)$（右半支）

这些解的值域分别为 ${0}$, ${a/b}$, $(0,a/b)$, $(-\infty,0)$, $(a/b,+\infty)$，它们精确地划分了整个实数轴 $\mathbb{R}$。

4. 对称性特征

Logistic 方程的解曲线具有点对称特性。特别地，当 $d > 0$ 时，解曲线 $y(t) = \frac{a}{de^{-at}+b}$ 关于其拐点具有点对称性。拐点出现在 $(t_h, a/2b)$，其中 $t_h = (\ln d - \ln b)/a$。

5. 在人口模型中的应用

在人口增长模型中，通常只考虑情况 1 和情况 2（即 $y_0 > 0$）。在这些情况下：

  • 当初始人口 $0 < y_0 < a/b$ 时（情况 1），人口呈 S 型曲线增长，最终趋近于环境承载量 $a/b$
  • 当初始人口 $y_0 > a/b$ 时（情况 2），人口单调减少，同样趋近于环境承载量 $a/b$

参数 $a$ 表示无限资源条件下的自然增长率，而 $a/b$ 表示环境承载量。

6. 与收获方程的对比

收获方程（Harvesting Equation）形式为 $y’ = ay - by^2 - h$（$h > 0$ 为收获率），是 Logistic 方程的变体。收获方程的渐近行为取决于 $\Delta = a^2 - 4bh$：

  • 当 $h < a^2/4b$ 时，有两个稳态解
  • 当 $h = a^2/4b$ 时，有一个稳态解
  • 当 $h > a^2/4b$ 时，没有稳态解（所有解都在有限时间内达到零）

最简单的理解即为考虑 RHS 二次方程根的分布确定函数的导数性质 ->进而确定函数的增长特性

解的唯一性证明

在微分方程 $y’ = G(t,y) \wedge y(t_0) = y_0$ 的讨论中，我们可以通过以下两种主要方式来证明解的唯一性：

方法一：通过通解结构证明

  1. 求出微分方程 $y’ = G(t,y)$ 的通解，观察到它是一个依赖于参数 $C$ 的函数族 $y_C(t)$
  2. 代入初始条件 $y_C(t_0) = y_0$ 确定参数 $C$，从而唯一地确定解

这种方法适用于：

  • 一阶线性微分方程（齐次或非齐次）
  • 没有稳态解的可分离微分方程

方法二：解的参数唯一性证明

如果解涉及多个参数，需要额外证明同一初始条件 $y(t_0) = y_0$ 不能由对应不同参数的解来满足。

这种方法适用于：

  • 有稳态解的可分离微分方程，如 $y’ = y^2$、$y’ = ty^2$、$y’ = ay - by^2$

” 不同参数 “ 既指连续的一参数解族，也指 “ 特殊的 “ 稳态解。

Logistic 方程解的唯一性证明

以 Logistic 方程 $y’ = ay - by^2$ 为例，它有解 $y_\infty(t) \equiv 0$ 和 $y_d(t) = \frac{a}{de^{-at}+b}$，$d \in \mathbb{R}$。

证明步骤：

  1. 对于任意 $t_0 \in \mathbb{R}$ 和 $y_0 \neq 0$，我们可以通过求解方程 $\frac{a}{de^{-at_0}+b} = y_0$ 唯一确定参数 $d$

  2. 这表明点 $(t_0, y_0)$ 恰好位于一条解曲线 $y_d(t)$ 上，$d \in \mathbb{R}$

  3. 由于 $\frac{a}{de^{-at}+b} \neq 0$，这些解曲线不会与稳态解 $y_\infty(t) \equiv 0$ 相交

  4. 这意味着解曲线 $y_d(t)$，$d \in \mathbb{R} \cup {\infty}$，将 $(t,y)$ 平面分割开来

以上证明了所有初值问题 $y’ = ay - by^2 \wedge y(t_0) = y_0$ 在给定解函数类中的唯一可解性。

然而，这并不排除可能存在其他形式的解。下面证明确实不存在其他解：

完整证明

可分离方程定理表明，对于点 $(t_0, y_0)$ 且 $y_0 \notin {0, a/b}$，不可能有两个不同的解通过该点，因此所有不与直线 $y=0$ 或 $y=a/b$ 相交的解已知。

现在假设存在非常数解 $y(t)$ 满足 $y(t_0) = 0$（对 $y(t_0) = a/b$ 的情况类似处理）：

  1. 不失一般性，可以假设存在 $\delta > 0$ 使得 $0 < y(t) < a/b$，$t_0 < t < t_0 + \delta$

  2. 由连续性，必须有 $\lim_{t \downarrow t_0} y(t) = 0$

  3. 但在 $(t_0, t_0 + \delta)$ 上定义且在该区间取得小正值的解（必须形如 $y_d(t)$，其中 $d > 0$）不具有此性质

  4. 这是因为 $y_d(t) = \frac{a}{de^{-at}+b} \to \frac{a}{de^{-at_0}+b} \neq 0$ 当 $t \downarrow t_0$ 时

这一矛盾完成了证明，表明不存在其他形式的解。

$y’ = \sqrt{|y|}$ 的对比案例

与 Logistic 方程不同，方程 $y’ = \sqrt{ y }$ 的解不具有唯一性。该方程有：
  1. 稳态解 $y(t) \equiv 0$
  2. 两个一参数解族：
    • $y_c^-(t) = -\frac{1}{4}(t-c)^2$，$t \in (-\infty, c)$
    • $y_c^+(t) = \frac{1}{4}(t-c)^2$，$t \in (c, +\infty)$

这些解共同构成了 $(t,y)$ 平面的划分，使得每个点 $(t_0, y_0) \in \mathbb{R}^2$ 恰好位于一条这样的解曲线上。

然而，通过在 $t = c$ 处将 $y_c^{\pm}(t)$ 粘合在一起（以及其他组合），可以得到更多（最大）解，这导致所有初值问题 $y’ = \sqrt{ y } \wedge y(t_0) = y_0$ 解的不唯一性。

Exact First-Order Equations

定义与基本形式

精确微分方程（Exact First-Order Equations）是一类特殊的一阶微分方程，其标准形式为：

$$ M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 $$

当且仅当存在某个二元函数 $F(x,y)$ 使得：

$$ \frac{\partial F}{\partial x} = M(x,y) \quad \text{和} \quad \frac{\partial F}{\partial y} = N(x,y) $$

时，我们称这个方程为精确方程。

这时，方程实际上可以写为全微分形式：

$$ dF(x,y) = \frac{\partial F}{\partial x}dx + \frac{\partial F}{\partial y}dy = M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 $$

精确性的判定条件

函数 $M(x,y)$ 和 $N(x,y)$ 是否满足精确条件，可以通过以下定理判断：

定理：假设 $M(x,y)$ 和 $N(x,y)$ 在区域 $D$ 上具有连续的一阶偏导数，则方程 $M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0$ 在 $D$ 上是精确的，当且仅当：

$$ \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x} $$

这个条件可以通过混合偏导数相等的性质来理解：如果 $F$ 存在，那么 $\frac{\partial^2 F}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 F}{\partial y \partial x}$，所以 $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial^2 F}{\partial y \partial x} = \frac{\partial^2 F}{\partial x \partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$。

精确方程的几何解释

从几何角度看，精确方程 $M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0$ 的解是由 $F(x,y) = C$ 表示的曲线族，其中：

  • 向量场 $(M, N)$ 与曲线 $F(x,y) = C$ 的任意点处的法向量 $(\frac{\partial F}{\partial x}, \frac{\partial F}{\partial y})$ 平行
  • 向量场 $(M, N)$ 与曲线 $F(x,y) = C$ 在每点处正交，即解曲线是向量场的正交轨迹

解法步骤

若判断出方程是精确的，求解步骤如下：

  1. 构造函数 $F(x,y)$：

    • 从 $\frac{\partial F}{\partial x} = M(x,y)$ 开始，对 $x$ 积分得：

      $$

F(x,y) = \int M(x,y) dx + h(y)

$$ 其中 $h(y)$ 是仅含 $y$ 的待定函数

  • 利用 $\frac{\partial F}{\partial y} = N(x,y)$ 确定 $h(y)$：

$$

\frac{\partial}{\partial y}\left(\int M(x,y) dx + h(y)\right) = N(x,y)

$$



1



 \$\$ \frac{\partial}{\partial y}\int M(x,y) dx + h'(y) = N(x,y)

$$



1



 因此：

$$ h’(y) = N(x,y) - \frac{\partial}{\partial y}\int M(x,y) dx $$



1



 对 $y$ 积分得到 $h(y)$
  1. 写出通解：
    • 由于 $dF = 0$ 意味着 $F(x,y) = C$（常数）

    • 将 $F(x,y) = \int M(x,y) dx + h(y)$ 代入，得到通解：

      $$

F(x,y) = C

$$

与其他方法的联系

精确微分方程与其他方程类型的关系：

  1. 与可分离变量方程的关系： 形如 $g(y)dy + f(x)dx = 0$ 的可分离变量方程是精确方程的特例，其中：

$$

F(x,y) = \int f(x)dx + \int g(y)dy

$$

  1. 与一阶线性方程的关系： 一阶线性方程 $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ 通过乘以积分因子 $\mu(x) = e^{\int P(x)dx}$ 可转化为精确方程

  2. 积分因子法： 对于非精确方程 $M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0$，如果存在函数 $\mu(x,y)$，使得 $\mu M dx + \mu N dy = 0$ 变为精确方程，则 $\mu$ 称为该方程的积分因子

积分因子法 (Integrating Factor Method)

基本原理

积分因子法是将非精确方程转化为精确方程的技术。对于一般形式的一阶微分方程： $$

M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0

$$ 若该方程不是精确的（即 $\frac{\partial M}{\partial y} \neq \frac{\partial N}{\partial x}$），我们寻找一个非零函数 $\mu(x,y)$，使得新方程： $$

\mu(x,y)M(x,y)dx + \mu(x,y)N(x,y)dy = 0

$$ 成为精确方程。这个函数 $\mu(x,y)$ 称为积分因子。

积分因子的精确条件

积分因子 $\mu(x,y)$ 要使方程变为精确方程，需满足： $$

\frac{\partial(\mu M)}{\partial y} = \frac{\partial(\mu N)}{\partial x}

$$ 展开得： $$

\mu\frac{\partial M}{\partial y} + M\frac{\partial \mu}{\partial y} = \mu\frac{\partial N}{\partial x} + N\frac{\partial \mu}{\partial x}

$$ 整理为： $$

\mu\left(\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}\right) = N\frac{\partial \mu}{\partial x} - M\frac{\partial \mu}{\partial y}

$$ 这是关于 $\mu$ 的偏微分方程，通常难以直接求解。

特殊形式的积分因子

核心均为考虑复杂的偏微分方程的线性齐次形式

仅依赖于 $x$ 的积分因子

当假设 $\mu = \mu(x)$ 仅为 $x$ 的函数时，有 $\frac{\partial \mu}{\partial y} = 0$，上述方程简化为： $$

\mu\left(\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}\right) = N\frac{d \mu}{d x}

$$ 若 $\frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$ 仅是 $x$ 的函数，记为 $g(x)$，则： $$

\frac{1}{\mu}\frac{d\mu}{dx} = g(x)

$$ 求解得： $$

\mu(x) = \exp\left(\int g(x)\,dx\right) = \exp\left(\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}\,dx\right)

$$

仅依赖于 $y$ 的积分因子

类似地，若假设 $\mu = \mu(y)$，则有： $$

\mu(y) = \exp\left(\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}\,dy\right)

$$

当 $\frac{x^{2}(M_{y}-N_{x})}{N_{y}+M_{x}}=g\left( \frac{y}{x} \right)$ $\mu(x,y)$ 时

$$

\mu’\left( \frac{y}{x} \right) = -g\left( \frac{y}{x} \right)\mu\left( \frac{y}{x} \right)

$$

当 $\frac{M_{y}-N_{x}}{N_{y}-M_{x}} = g(xy)$ $\mu(xy)$ 时

$$

\mu’\left( \frac{y}{x} \right) = g\left( \frac{y}{x} \right)\mu\left( \frac{y}{x} \right)

$$

4. 积分因子应用步骤

  1. 判断方程是否为精确方程：检验 $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 是否成立。
  2. 若不是精确方程，尝试找积分因子：
    • 检查 $\frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$ 是否仅为 $x$ 的函数
    • 检查 $\frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$ 是否仅为 $y$ 的函数
  3. 若找到积分因子 $\mu$，构造新方程：$\mu M dx + \mu N dy = 0$
  4. 解新的精确方程：按照精确方程的解法求解。

正交轨线 (Orthogonal Trajectories)

1. 基本概念

正交轨线是与给定曲线族处处垂直相交的另一组曲线族。在微分几何中，正交轨线有重要的理论与实际应用。

如果曲线族 $F(x,y,C) = 0$ 是微分方程 $M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0$ 的解，则其正交轨线族满足微分方程： $$

N(x,y)dx - M(x,y)dy = 0

$$ 这是因为在任意交点处，两条曲线的切向量需要正交。

2. 求解步骤

  1. 对原曲线族 $F(x,y,C) = 0$ 求微分： 从原曲线隐式方程得到 $\frac{dy}{dx} = f(x,y)$

  2. 构造正交条件： 正交轨线的斜率与原曲线斜率的乘积为 $-1$ (正交条件)，即：

$$

\frac{dy}{dx} \cdot \frac{dy}{dx}\bigg _{\text{正交}} = -1

$$

  1. 得到正交轨线的微分方程：

$$

\frac{dy}{dx}\bigg _{\text{正交}} = -\frac{1}{f(x,y)}

$$

  1. 解该微分方程得到正交轨线族

实例分析

求曲线族 $y = Cx^2$ 的正交轨线。

解：

  1. 原曲线的斜率：$\frac{dy}{dx} = 2Cx = 2\frac{y}{x}$

  2. 正交轨线的斜率： $\frac{dy}{dx}\bigg|_{\text{正交}} = -\frac{1}{2\frac{y}{x}} = -\frac{x}{2y}$

  3. 得到微分方程： $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{2y}$ 或 $2y dy + x dx = 0$

  4. 这是可分离变量的方程： $2y dy = -x dx$，积分得 $y^2 = -\frac{x^2}{2} + C_1$，即 $2y^2 + x^2 = C$

因此，抛物线族 $y = Cx^2$ 的正交轨线是椭圆族 $2y^2 + x^2 = C$。

向量场解释

正交轨线的概念可以在向量场中得到自然解释：

  1. 微分方程 $M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0$ 对应向量场 $\vec{F} = (M, N)$
  2. 该方程的解曲线在每点处与向量 $(M, N)$ 垂直
  3. 正交轨线方程 $N(x,y)dx - M(x,y)dy = 0$ 对应向量场 $\vec{G} = (N, -M)$
  4. 向量 $\vec{G}$ 在每点处与 $\vec{F}$ 垂直，因此正交轨线在每点与原曲线族正交