#Math285

Method of Integrating Factors

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一阶线性微分方程
1. 形式

$$ \frac{dy}{dt} + p(t)y =g(t) $$

or

$$ P(t) \frac{dy}{dt} + Q(t)y =G(t) $$

2. 求解 ->寻找 integrating Factor

  • Case1: $p(t)$ 为常数 $a$ ，对应的 integrating factor 需满足 $\frac{d\mu}{dt}=a\mu$ ，确定指数函数即可

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  • Case2: 一般形式，考虑寻找到满足条件的 integrating factor $\mu(t)$
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    Notice
  • 有些函数并非在整个实数集上一直连续，求解对应的解时需要注意定义域范围（由 initial value 确定）
  • 有些积分式无法用初等函数求解，注意根据初值选取合适的积分下限化简

Linear 1st Order Equation

Slides Version
线性一阶微分方程

$$ y’ = a(t)y + b(t) $$

当 $b(t)=0$ 时即为齐次

Homogeneous case

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证明考虑直接构造对应函数为常数

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Inhomogeneous Case

非齐次的情况考虑在齐次的情况基础上乘上一个函数进行构造

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非齐次解的情况即为考虑齐次解 + 非齐次情况的特解

[!question] 如何获取所有解 ->在积分求特解时添加常数（其实等价于用齐次解 + 特解，其中齐次解前有一个待定的常数）

$$ y_{p}(t) = e^{A(t)}(c+\int_{t_{0}}^{t}(b(s)e^{-A(t)}) $$

Example

依次找到 associated homogeneous equation solution, particular solution, general solution 即可

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The Linear Algebra Aspect

我们考虑一组定义在给定定义域 $I$ 上的函数，他们满足线性操作上的封闭性

$$ \begin{align} & (f+g)(t) = f(t)+ g(t)
& (cf)(t) = cf(t) \end{align} $$

同时这个抽象的线性空间的零向量即为 all-zero function $I\to \mathbb{R},t\to 0$

Definition
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[!example] Remark

  • $\mathbb{R}^{n}$ 与 $\mathbb{R}^{I}$ 的区别在于 $\mathbb{R}^{I}$ 有无穷维，对应的标准基数量有无穷多
  • 经过类比，我们有 $\mathbb{R}^{I}$ 的标准基可以写为

$$ \delta_{s}(t) = 1 \text{ if } t = s \text{ else } 0 $$

  • 但是任意基的线性组合并不能构成 spanning set
  • 我们主要关注 $\mathbb{R}^{I}$ 的子空间 $C^{\infty}(I)$ ,其中所有函数均无穷可微

Cases Analysis

1st Order Homogeneous Case

$y’(t) = a(t)y$ 的解构成 $\mathbb{R}^{I}$ 中的一维线性子空间（每一组解均为特解形式乘常数）

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1st Order Inhomogeneous Case

$y’(t) =a(t)y+b(t)$ 构成 $\mathbb{R}^{I}$ 中的一维仿射空间（Line），满足对其的仿射组合的封闭性
其中任意两元素相减后即回到齐次情况 ->一维的线性子空间

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2nd Order Case

$y’‘+y=0$ 构成 $\mathbb{R}^{\mathbb{R}}$ 二维的线性子空间, 其基为 $\sin,\cos$, 在给定 $y(0),y’(0)$ 的情况下可以对应一个唯一的双射 (IVP)

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Theorem

[!question] 如何判断一组函数线性独立

$f_{1},f_{2},\dots f_{n}$ 线性独立等价于

$$ \lambda_{1}f_{1} + \lambda_{2}f_{2}+\dots \lambda_{n}f_{n} = 0 $$

没有平凡解

证明考虑数学归纳法
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Complex First-Order Linear Equations

Definition
一阶复系数线性微分方程具有如下形式：

$$ z’(t) = a(t)z(t)+b(t) $$

其中 $a,b: D\to C$
我们将实虚部分离，可以得到

$$ \begin{align} & z(t) =x(t) + iy(t)
& a(t) = a_{1}(t) + i a_{2}(t)
& b(t) = b_{1}(t) + i b_{2}(t) \end{align} $$

原式等价为

$$ \begin{align} & x’(t) = a_{1}(t)x(t) - a_{2}(t)y(t) + b_{1}(t)
& y’(t) = a_{2}(t)x(t) a_{2}(t)y(t) + b_{2}(t) \end{align} $$

General Solution
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[!tip] 对于某些实系数 ODE，我们也可以通过引入复数进行解决

Complexification of real ODE’s
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Analogy with Linear Recurring Sequences

先类比线性递归的多种求解方式

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  • 类比 1：先考虑齐次解再加上特解的情况
  • 类比 2：在齐次情况下乘上一个待定的函数

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