First-Order Differential Equations1

#Math285

Method of Integrating Factors

一阶线性微分方程
1. 形式

$$\frac{dy}{dt}+p(t)y=g(t)$$

or

$$P(t)\frac{dy}{dt}+Q(t)y=G(t)$$

2. 求解 ->寻找 integrating Factor

• Case1: $p(t)$ 为常数 $a$ ，对应的 integrating factor 需满足 $\frac{d\mu }{dt}=a\mu$ ，确定指数函数即可

• Case2: 一般形式，考虑寻找到满足条件的 integrating factor $\mu (t)$
  
  Notice
• 有些函数并非在整个实数集上一直连续，求解对应的解时需要注意定义域范围（由 initial value 确定）
• 有些积分式无法用初等函数求解，注意根据初值选取合适的积分下限化简

Linear 1st Order Equation

Slides Version
线性一阶微分方程

$$y^{\prime }=a(t)y+b(t)$$

当 $b(t)=0$ 时即为齐次

Homogeneous case

证明考虑直接构造对应函数为常数

Inhomogeneous Case

非齐次的情况考虑在齐次的情况基础上乘上一个函数进行构造

非齐次解的情况即为考虑齐次解 + 非齐次情况的特解

[!question] 如何获取所有解 ->在积分求特解时添加常数（其实等价于用齐次解 + 特解，其中齐次解前有一个待定的常数）

$$y_p(t)=e^{A(t)}(c+{\int }_{t_0}^t(b(s)e^{-A(t)})$$

Example

依次找到 associated homogeneous equation solution, particular solution, general solution 即可

The Linear Algebra Aspect

我们考虑一组定义在给定定义域 $I$ 上的函数，他们满足线性操作上的封闭性

$$\begin{array}{rlr}& (f+g)(t)=f(t)+g(t)& (cf)(t)=cf(t)\end{array}$$

同时这个抽象的线性空间的零向量即为 all-zero function $I\to \mathbb{R},t\to 0$

Definition

[!example] Remark

• ${\mathbb{R}}^n$ 与 ${\mathbb{R}}^I$ 的区别在于 ${\mathbb{R}}^I$ 有无穷维，对应的标准基数量有无穷多
• 经过类比，我们有 ${\mathbb{R}}^I$ 的标准基可以写为

$${\delta }_s(t)=1\text{ if }t=s\text{ else }0$$

• 但是任意基的线性组合并不能构成 spanning set
• 我们主要关注 ${\mathbb{R}}^I$ 的子空间 $C^{\mathrm{\infty }}(I)$ ,其中所有函数均无穷可微

Cases Analysis

1st Order Homogeneous Case

$y^{\prime }(t)=a(t)y$ 的解构成 ${\mathbb{R}}^I$ 中的一维线性子空间（每一组解均为特解形式乘常数）

1st Order Inhomogeneous Case

$y^{\prime }(t)=a(t)y+b(t)$ 构成 ${\mathbb{R}}^I$ 中的一维仿射空间（Line），满足对其的仿射组合的封闭性
其中任意两元素相减后即回到齐次情况 ->一维的线性子空间

2nd Order Case

$y^{\prime }‘+y=0$ 构成 ${\mathbb{R}}^{\mathbb{R}}$ 二维的线性子空间, 其基为 $\sin ,\cos$, 在给定 $y(0),y^{\prime }(0)$ 的情况下可以对应一个唯一的双射 (IVP)

Theorem

[!question] 如何判断一组函数线性独立

$f_1,f_2,\dots f_n$ 线性独立等价于

$${\lambda }_1{f}_1+{\lambda }_2{f}_2+\dots {\lambda }_n{f}_n=0$$

没有平凡解

证明考虑数学归纳法

Complex First-Order Linear Equations

Definition
一阶复系数线性微分方程具有如下形式：

$$z^{\prime }(t)=a(t)z(t)+b(t)$$

其中 $a,b:D\to C$
我们将实虚部分离，可以得到

$$\begin{array}{rlrl}& z(t)=x(t)+iy(t)& a(t)=a_1(t)+i{a}_2(t)& b(t)=b_1(t)+i{b}_2(t)\end{array}$$

原式等价为

$$\begin{array}{rlr}& x^{\prime }(t)=a_1(t)x(t)-a_2(t)y(t)+b_1(t)& y^{\prime }(t)=a_2(t)x(t)a_2(t)y(t)+b_2(t)\end{array}$$

General Solution

[!tip] 对于某些实系数 ODE，我们也可以通过引入复数进行解决

Complexification of real ODE’s

Analogy with Linear Recurring Sequences

先类比线性递归的多种求解方式

• 类比 1：先考虑齐次解再加上特解的情况
• 类比 2：在齐次情况下乘上一个待定的函数