Introduction to ODE’s

#Math285

Introduciton

Basic Terminology

[!tip] 基本概念
1. ODE 常微分方程
n 阶常微分方程形如

$$ F(t,y,y’,\dots,y^{n})=0 $$

其中 F 的定义域 $D\subset \mathbb{R}\times \mathbb{R}^{m}\times\dots \times \mathbb{R}^{m}$, n 阶即微分出现的最高次数为 n.
n 阶常微分方程的解为函数 $f:I\to \mathbb{R}^{m}$, f 定义在 $I \subset \mathbb{R}$,且 n 解可微，满足 $F(t,f(t),f’(t),\dots,f^{(n)}(t))=0$
2. IVP 初值问题
给定微分方程后，我们可以在给定初始条件 (initial condition) 的情况下可以进一步确定微分方程在该情况下对应的解
3. Explicit Form and Implicit Form
对于 n 阶常微分方程，
Explicit Form:

$$ y^{(n)} = G(t,y,y’,\dots,y^{(n-1)}) $$

对应的 Implicit Form:

$$ F(t,y,\dots,y^{(n)})=y^{(n)}-G(t,y,\dots,y^{(n-1)}) $$

4. Maximal Solution
在给定初始条件下，能够存在并且定义在最大可能的区间上的解

Ordinary Differential Equation(ODE)

Initial Value Problem(IVP)

Classification

1. ODE 与 PDE（常微分方程与偏微分方程）

常微分方程（ODE, Ordinary Differential Equation）
定义：常微分方程是指未知函数依赖于一个自变量，并且方程中包含该函数及其导数。常微分方程中的未知函数只与一个自变量（通常是时间）有关。
偏微分方程（PDE, Partial Differential Equation）

定义：偏微分方程是包含未知函数及其偏导数的方程，且未知函数依赖于两个或多个自变量。它描述的是多维度空间中的变化关系。

2. Systems of Differential Equations

定义：系统的微分方程是指多个未知函数及其导数组成的微分方程组。这些方程系统的解通常需要一起求解。系统中的每个方程描述一个或多个变量随时间（或其他自变量）的变化关系。

3. 微分方程的阶数（Order）
定义：微分方程的阶数是指方程中最高阶导数的阶数。阶数反映了方程描述的是系统的动态过程的复杂程度。

4. 线性与非线性微分方程（Linear and Nonlinear）

线性微分方程（Linear Differential Equations）
定义：线性微分方程是指方程中的未知函数及其导数以线性方式出现，即它们的指数是 1，不涉及乘积、平方或其他非线性项。
形式：线性常微分方程的一般形式为：

$$ a_{0}(t)y^{(n)}+a_{1}(t)y^{(n-1)}+\dots+a_{n}(t)y=g(t) $$

非线性微分方程（Nonlinear Differential Equations）

定义：非线性微分方程是指方程中未知函数及其导数的关系是非线性的，即方程包含未知函数及其导数的乘积、平方或其他非线性项。

Ten Examples & Solutions

1.因变量 y 与自变量 t 已经充分解耦，直接积分即可得到

2.先猜出答案为指数形式，然后用对应函数形式为常数证明所有解

3.4.5. 均为形如指数函数的形式，同时可以转化为线性齐次的形式

6.注意 autonomous ODE 自洽常微分方程 ->可以通过平移获得多组解

$$ y’ = G(y) $$

G 不取决于 t->可以进行平移

7. 可以直接将因变量与自变量分离，同时利用平移性
8. 特殊形式的 ODE Exact Form $f_{x}dx +f_{y}dy = 0$ （利用庞加莱引理验证）
考虑联系 241 中的 Exact Form 以及 Vector Field,将 x,y 参数化
注意无解的情况 ->critical point

9.$y’=-\frac{x}{y}$