#Math241

Limit and Continuity

Basic Terminology

多元函数
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Limit and Continuity

  • Definition
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    即为都利用欧几里得距离去衡量向量之间的的接近程度，以满足极限或连续性定义中无穷小的条件

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注意：

  • 只有 Accumulation Point 才有极限的定义 (即只考虑 Accumulation Point 的极限)
  • 对于映射结果也为高维向量的函数，其极限存在的条件也即为各个维度上极限存在（注意逼近的路径任意，可以从空间中各个方向逼近，但极限存在意味着均需得到相同的结果）

Graphs: 对多元函数进行可视化,将其自变量与因变量的向量维数相加，放至同一个向量空间
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Level Sets
即固定其函数取值的结果，考察对应定义域中点集的分布（最终可以画出形象的等高线）
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Examples

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Complex Function

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  • 共轭
  • 模长
  • 倒数 (multiplicative inverse)
  • 指数形式

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  • 单位根
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代数基本定理：研究多项式方程根的关系，注意实系数方程虚根成对
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Midterm2 注意以下映射的关系
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Further Rule

核心即为对连续函数的组合与复合的结果依然为连续函数
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证明：
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Useful Remarks

  • 对于定义域为闭集，陪域为 $\mathbb{R}$ 的情况可以确定最大值与最小值的存在
  • 如果定义域是连通的，即可在对应区间内连续取值
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Limit Computations

TIP:

  • 极限理解：
    通过将自变量控制在一个球内能够将映射后的结果也控制在一个球内
  • 考察哪些点的极限有意义：
    只有对于 Accumulation point 考察该点的极限才有意义, isolated point 无意义
  • 考察哪些点的极限存在：
    注意如果极限存在，那么一定有对于每个维度从任意方向逼近都能得到相同的结果

常用手段

  • 利用极限语言定义去构造
  • 利用基本不等式进行基础的放缩
  • 常见构造手段:
    直线方向： $y=kx$ （多考虑齐次情况），幂函数： $y=x^{a}$（多考虑具有一定对称性的结果），分别控制 $x,y$
  • 利用极坐标进行转化 (注意有时需补充一下有界性)
  • 利用中值定理进行化简（常见于三角函数）

Example

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