Applications to Physics

#Math241

Coordinate Systems

Setup

通过 Linear Mapping 换系：一个正交矩阵用来替换正交基，一个平移向量确定原点

正交矩阵的基本性质

模长不变

$$ |Ux| = |x| $$

意味该变换能够保持距离不变

$$ d(x,y) = |x-y| = |Ux’-Uy’|= |x’-y’| $$

$U、U^{T}$

$$ UU^{T} = I_{n} $$

$\det(U)=\pm1$

Motion in Space: Velocity and Acceleration

Velocity, Speed and Acceleration

注意速度、速率与加速度取决于对曲线参数的选取，而曲率、曲线长度、转矩则独立于曲线参数的选取

Velocity: 直接考虑对点的运动轨迹求导，即可得出运动的顺势速度（包括方向与大小）
Speed: 即为速度向量的模长

$$ |v(t)|=|r’(t)|=\frac{ds}{dt} $$

Acceleration

$$ a(t)=v’(t)=r’‘(t) $$

联系：牛顿运动定律： $F(t)=ma(t)$
Projectile Motion 抛体运动 (考虑物理方法即可)

Tangential and Normal Components of Acceleration

$$ \begin{align} & T(t) = \frac{r’(t)}{|r(t)|} = \frac{\mathrm{v}}{v}
& a = \mathrm{v}’ = (vT)’ = v’T + vT’
& \kappa = \frac{|T’|}{|r’|} = \frac{|T’|}{v}, T’=|T’|N=\kappa vN
& a = v’T + \kappa v^{2}N
& a = a_{T}T+ a_{N}N, a_{T}=v’, a_{N}=\kappa v^{2} \end{align} $$

其中: 可以分别利用点乘计算相应的系数（对于 T，N 的便捷计算则可以参考先后求一二阶导后考虑正交化）

$$ \begin{align} & a_{T}=v’=\frac{\mathrm{v}\cdot a}{v}= \frac{r’(t)\cdot r’’(t)}{|r’(t)|}
& a_{N} = \kappa v^{2}= \frac{|r’(t)\times r’’(t)|}{|r’(t)|} \end{align} $$