Applications to Physics

#Math241

Coordinate Systems

Setup

通过 Linear Mapping 换系：一个正交矩阵用来替换正交基，一个平移向量确定原点

正交矩阵的基本性质

模长不变

$| U x | = | x |$

意味该变换能够保持距离不变

$d (x, y) = | x - y | = | U x^{'} - U y^{'} | = | x^{'} - y^{'} |$

$U 、 U^{T}$

$U U^{T} = I_{n}$

$det (U) = \pm 1$

Motion in Space: Velocity and Acceleration

Velocity, Speed and Acceleration

注意速度、速率与加速度取决于对曲线参数的选取，而曲率、曲线长度、转矩则独立于曲线参数的选取

Velocity: 直接考虑对点的运动轨迹求导，即可得出运动的顺势速度（包括方向与大小）
Speed: 即为速度向量的模长

$| v (t) | = | r^{'} (t) | = \frac{d s}{d t}$

Acceleration

$a (t) = v^{'} (t) = r^{'} ‘ (t)$

联系：牛顿运动定律： $F (t) = m a (t)$
Projectile Motion 抛体运动 (考虑物理方法即可)

Tangential and Normal Components of Acceleration

$\begin{aligned} T (t) = \frac{r^{'} (t)}{| r (t) |} = \frac{v}{v} & a = v^{'} = (v T)^{'} = v^{'} T + v T^{'} & κ = \frac{| T^{'} |}{| r^{'} |} = \frac{| T^{'} |}{v}, T^{'} = | T^{'} | N = κ v N & a = v^{'} T + κ v^{2} N & a = a_{T} T + a_{N} N, a_{T} = v^{'}, a_{N} = κ v^{2} \end{aligned}$

其中: 可以分别利用点乘计算相应的系数（对于 T，N 的便捷计算则可以参考先后求一二阶导后考虑正交化）

$\begin{aligned} a_{T} = v^{'} = \frac{v \cdot a}{v} = \frac{r^{'} (t) \cdot r^{″} (t)}{| r^{'} (t) |} & a_{N} = κ v^{2} = \frac{| r^{'} (t) \times r^{″} (t) |}{| r^{'} (t) |} \end{aligned}$