#Math241

Length and Cross Product

Definition and Property

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  • Bilinear Form(Symmetric)
  • Positive Definite
  • Associative Law
  • Distributive Law

Orthogonality 正交

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Length

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Cauchy-Schwarz Inequality

  • 向量形式

$$ a,b \in \mathbb{R}^{n}, |a \cdot b| \leq|a||b| $$

  • 展开式

$$ (a_{1}b_{1}+\dots a_{n}b_{n})^{2} \leq (a_{1}^{2}+\dots+a^{2}{n})(b{1}^{2}+\dots+b_{n}^{2}) $$

  • 导出三角不等式

$$ d(a,b) \leq d(a,c) + d(c,b) $$

  • 复数形式
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  • 证明：
    1. 判别式法：引入一个二次函数即可
    2. 直接利用 Lagrange 恒等式即可
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$$ |a|^{2}|b|^{2}-(a \cdot b)^{2}=|a\times b|^{2} $$

Determinant

Permutation

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Property

详见线代
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Geometric Property
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Cross Product

在空间 $\mathbb{R}^{n}$ 中，我们可以定义 n-1 个向量的叉乘，这些向量叉乘的结果为一个垂直于这 (n-1) 个向量的向量
三维向量的叉乘：
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Property

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特别注意性质 5、6

  • 5 可以利用混合积的计算意义 ->体积理解 $\det(a,b,c)=(a\times b)\cdot c$
  • 6 考虑记住 triple cross product

Triple Product

$$ a \cdot (b \times c) = \begin{vmatrix} a_{1} \ a_{2} \ a_{3}
b_{1} \ b_{2} \ b_{3}
c_{1} \ c_{2} \ c_{3} \end{vmatrix} $$

几何意义：由向量 a,b,c 扩展出的平行六面体的体积,为三边向量张出的四面体的六倍
$V =|a \cdot (b \times c)|$
推论: 当 V=0 时，说明向量 a,b,c 共面（行列式为 0，线性相关）
Vector Triple Product:
$a \times (b \times c)$

平行六面体：parallelepiped
棱锥体：pyramid($\frac{1}{6}$ 的混合积)

常用计算

基本转换

  • Line:

$$ \begin{align} & a +\mathbb{R}b \iff \begin{bmatrix} x_{0}
y_{0}
z_{0}
\end{bmatrix} + t\begin{bmatrix} a
b
c
\end{bmatrix} \text{ 点加方向向量}
& \frac{x-x_{0}}{a}=\frac{y-y_{0}}{b}=\frac{z-z_{0}}{c} \text{ symmetric form} \end{align} $$

由两个平面求交线得到：

  1. 直接求对应线性方程组的通解
  2. 考虑对两平面法向量做叉乘也可
  • Plane:
    方程形式

$$ a(x-x_{0})+b(y-y_{0})+c(z-z_{0})=0 $$

其中：

$$ \begin{align} &\begin{bmatrix} a
b
c
\end{bmatrix} \text{即为平面的法向量}
& \begin{bmatrix} x_{0}
y_{0}
z_{0} \end{bmatrix} \text{即为平面偏离原点的距离}
\end{align} $$

参数形式：

$$ \begin{align} a+\mathbb{R}b+\mathbb{R}c \text{点+两个方向向量} \end{align} $$

向量形式：

$$ n \cdot r = n \cdot r_{0} $$

具体计算

  • 点与直线的距离
    确定点与直线上一点的向量，然后考虑其向直线的方向向量做投影

$$ d(P,l)=\vec{b}-\frac{\vec{b}\cdot \vec{a}}{|a|^{2}}\vec{a} $$

  • 点与平面的距离
    确定点与平面上一点，考虑对平面的法向量做叉乘
    在 $\mathbb{R}^{3}$ 中，我们有以下结果:
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  • 直线与直线之间的距离
    注意一面直线既不平行也不相交
    表示形式:

$$ l_{1}: a_{1}+\mathbb{R}b_{1} \text{ , } l_{2}:a_{2}+\mathbb{R}b_{2} $$

考虑直线之间的距离即为考虑直线对应向量的最小值,即可转化为求点到平面的距离：

$$ d(l_{1},l_{2})=min(a_{1}-a_{2}-(\lambda_{1}b_{1}+\lambda_{2}b_{2})) $$

  • 平面与平面之间的距离
    转化为平面与点之间的距离或
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