#Math241

建立平面坐标系

  • 固定的参考点（原点）
  • 坐标轴的方向向量
  • 单位长度

直线

  1. 确定直线的方向
    • 直线上一点 + 方向向量
    • 直线上两点
      不同的表示形式：

$$ \begin{align} & l = p + \mathbb{R}q
& l = (1- \lambda)p + \lambda q \end{align} $$

  1. 基本相关
    • 确定直线的交角 ->考虑点乘
      对于任意两直线的方向向量:$p, q$,我们有：

$$ \begin{align}
& \cos(\phi) = \frac{p \cdot q}{|p||q|}
& p \cdot q > 0 \ \text{两直线夹角为锐角}
& p \cdot q = 0 \ \text{两直线夹角为直角}
& p \cdot q < 0 \ \text{两直线夹角为钝角}
\end{align} $$

  • 确定两向量确定平行四边形的面积
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  • 确定两向量之间的投影
    $(b-\lambda a)\cdot a=0$
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  • 换系：
    将新的坐标轴方向向量用原轴方向向量表示（Linear combination)
    同时注意如果有平移再加上一个向量确定移动后的原点
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三维坐标系

距离计算

  • 两直线之间的距离 ->本质上即为一点到一平面的距离（直接利用线代计算投影）
    或者理解为寻找两直线公共的法向量
    或者考虑向平面的法向量做投影
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从不同的视角理解向量

  • 考虑向量作为笛卡尔积中的点
  • 将向量视作一个方向与模长都确定 arrow，可以进行向量的加法

$$ T: \mathbb{R}^{2}\to \mathbb{R}^{2}, x = \begin{bmatrix} x_{1}
x_{2} \end{bmatrix} \to x+v = \begin{bmatrix} x_{1}+v_{1}
x_{2} + v_{2} \end{bmatrix} $$

Combination

Linear Combination

对向量集做任意的线性组合（Scalar+Addition)
线性子空间需要满足的条件 (也是验证一个线性空间的基本方式）：

  • 包含元素 0
  • 取集合中的任意两个元素
  • 对任意向量倍乘仍在该集合内
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Affine Combination

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上述性质等价的证明：
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  • 与线段定比分点的联系
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凸组合与凸集

当仿射组合的系数均为正时我们组成了一个凸组合
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Equational and Parametric Representation

Equational Representation

将线性空间表现为线性方程组解的集合
在 $\mathbb{R}^{3}$ 中，直线、平面以及点的表示形式分别为：

$$ \begin{align} & a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+a_{3}x_{3}=b \ ((a_{1},a_{2},a_{3})\in \mathbb{R}^{3} \setminus {0})
& a_{1}(x_{1}-p_{1})+a_{2}(x_{2}-p_{2})+a_{3}(x_{3}-p_{3})=0 \ \text{空间中确定的点+法向量}
& \text{Line: The Intersection of two planes.}
& \text{Point: The Intersection of three planes.} \end{align} $$

方程表示与参数表示的转换：

  • 参数表示 ->方程表示
    1. 将参数表示代入方程考虑恒成立
    2. 直接代入特殊点以及利用自由度赋值求解
    3. 将平面分为点 + 法向量（利用垂直求解法向量）
  • 方程表示 ->参数表示
    直接考虑线性方程组的求解即可

Parametric Equation

  • Line

$$ r = r_{0} + \mathbb{R}v $$

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Another Form of Representation: Symmetric Representation
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  • Plane
    Vector Equation

$$ n \cdot (r-r_{0}) = 0 \text{ or } n \cdot r = n \cdot r_{0}
$$

Scalar Equation
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Linear Equation

$$ ax+by+cz+d = 0 $$

  • Distance
    点到平面的距离
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  • 旋转与对称矩阵

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Cylinders and Quadratic Surfaces

Cylinders

Definition:
A cylinder is a surface that consists of all lines (called rulings) that are parallel to a
given line and pass through a given plane curve.

Quadric Surfaces(二次曲面)

Definition:
A quadric surface is the graph of a second-degree equation in three variables x, y, and
z. The most general such equation is
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二次型相关汇总：(Homework4)
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  • 第一步利用

$$ \begin{bmatrix} A, B
B, C \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x
y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -D
-E \end{bmatrix} $$

判断该二次型是否中心对称，如果为中心对称，则可利用上述方程解出的唯一解将该二次曲线移回原点（非中心对称有多解）

  • 第二步考虑对一个非退化的二次曲线，利用一个旋转矩阵将交叉项消去，旋转矩阵系数由如下得到（具体的话考虑如何选取合适的参数使得交叉项系数为 0）

$$ \begin{bmatrix} x
y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos\phi, -\sin \phi
\sin \phi, \cos \phi \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x’
y’ \end{bmatrix} $$

最终化简为：

$$ \begin{align} & \lambda_{1}x’^{2} + \lambda_{2}y’^{2} + \frac{\Delta}{AC-B^{2}} = 0
& \lambda ^{2} -(A+C)\lambda +AC-B^{2}=0 \end{align} $$