MATH 241 Collection

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集萃

• [[ Coordinate System#Equational and Parametric Representation ]]
• [[ Coordinate System#Cylinders and Quadratic Surfaces ]]
• [[ Vector#Cross Product ]]
• [[ Vector Function#Basic Term ]]
• [[ Vector Function#Curvature 曲率 ]]
• [[ Applications to Physics#Velocity, Speed and Acceleration ]]
• [[ Applications to Physics#Tangential and Normal Components of Acceleration ]]
• [[ Functions of Several Variables#Limit Computations ]]
• [[ Partial Derivatives 1#Further Concept ]]
• [[ Partial Derivatives 2#Theorem ]]
• [[ Partial Derivatives 2#Application-Error Propagation ]]
• [[ Partial Derivatives 2#Implicit Differentiation ]]
• [[ Partial Derivatives 2#Higher Derivatives ]]

Exam

Mid3

考点汇总：

• 简单的重积分计算面积
• 简单的重积分计算体积（注意区域限制，如何将问题描述准确地转化为重积分，换元积分时注意雅可比矩阵的行列式勿遗漏）
• 计算 center of mass 相关的物理量
• 重积分技巧:
  费曼积分法
  无穷级数展开
  换元积分
• Parameter Integral
  将微分号移至积分号中
  适时使用洛必达
• critical point
  偏导均为 0，同时注意检验解出来的 critical point 是否满足函数条件，也不要轻易约去 0 的情况
  判断 critical point 的 extrema 情况 ->关注海塞矩阵的正定性
• 计算 Tangent Plane(多熟悉三维情况的计算)
• 隐函数确定偏导（注意记录一下结论和具体推导即可）
• 利用 Mean Value Theorem 证明某些函数可导
• 二次型简单总结

Final

• 判断 Surface 是否 smooth
• 判断是否存在 global extrema(关注连续函数在紧集上一定能取到特值)
• 注意特征函数要定义在整个空间中，狄利克雷函数由于定义在 $[0,1]$ 上所以不是特征函数

Cheetsheet
1. 换元积分公式
特殊：极坐标，球坐标，柱坐标
一般：Jacobian

2. 物理
[[ Multi-variables Integral#Application & Example ]]
Average Value
Mass, Moments, Center of Mass, Moment of Inertia(转动惯量)

3. Surface Integral
核心思想为利用切平面进行近似（考虑给定区域切向量所决定的切平面）
特殊：f(x,y) 的 graph, Revolution Surface

4. Lebesgue Integral
Step Function：多个 n 维区间特征函数的线性和

• 任意一个 Step Function 均可以表示为若干个 n 维不交特征函数的线性和
  函数的包络级数： $f(x)\leq \Phi(x)=\sum_{i=1}^{\infty}c_{i}\chi_{Q_{i}}(x)$ 对 $\forall x \in \mathbb{R}^{n}$ 要求 $Q_{i}$ 为 n 维开区间

勒贝格积分的性质：

勒贝格测度的性质
$\mathbb{R}^{n}$ 的子集 A 的特征函数勒贝格可积 ->A 可测

[!tip] Summary

1. 一系列可测集的交集仍为可测集
2. 当一系列可测集其测度之和小于无穷时，他们的并集可测。特别地，当这些可测集两两不交时，其并集的测度等于这些可测集的测度之和 (核心性质: $\sigma$ 可加性,注意满足无穷可加性)
3. $\mathbb{R}^{n}$ 中有界闭集可测
4. $\mathbb{R}^{n}$ 中有界开集可测
5. 存在有界集不可测
6. $\mathbb{R}^{n}$ 中所有可数集测度均为 0（可数集可以被枚举，我们可以在其枚举出的每一个元素周围定义足够小的区间）
7. 测度为 0 的集合子集仍为可测集
8. 每一个 $\mathbb{R}^{n}$ 有界开集均可以用可数个有界闭集覆盖

• 对于有界闭集，我们可以马上得出其可测，同时对于一些情况我们会发现其边界为 smooth hypersurface(测度为 0),即可将一个闭集上的积分问题转化到开集上

5. Line Integral
对于 differential 1 form $\omega=f_{1}dx_{1}+\dots+f_{n}dx_{n}$ 若该微分形式连续 (每个函数 f 均连续)，其在 piece-wise $C^{1}-curve$ 上的线积分为

$$ \int_{\gamma}\omega=\int_{a}^{b}\omega(\gamma(t))(\gamma’(t))dt=\int_{a}^{b}\sum_{i=1}^{n}f_{i}(\gamma (t))\gamma_{i}’(t)dt $$

联系向量场 $F=(f_{1},\dots ,f_{n})$,则可以表示为

$$ \int_{\gamma}\omega=\int_{a}^{b}F(\gamma(t))\cdot \gamma’(t)dt $$

注意轨迹 winding number 的计算

注意散度与旋度的定义以及性质

6. Gradient Field 的性质

[!tip] Exact Differential 1-Form（全微分 1- 形式）
1. 定义
对于一个 Differential 1-form $\omega:D\to (R^{n})^{*}$, 当存在一个函数 $f:D\to \mathbb{R}^{n}$ 满足 $\omega=df$ 或表述为其对应的 Vector Field 为 Gradient Field, 那么我们称改 Differential 1-Form 为 exact(全微分)
2. 必要形式（闭形式）
在给定区域内，如果 $\omega$ 为全微分，则其外微分 (exterior derivative) 必须为零：

$$ d\omega=0 $$

3. 充分条件 Poincare’s Lemma(庞加莱引理)
如果区域 $U$ 是单连通 (simply connected),并且 $d\omega=0$, 则 $\omega$ 为全微分形式
4. 性质

• 保守性：沿任意路径的线积分只取决于路径的起点与终点

  $$ \int_{C}F \cdot dr=f(B)-f(A) $$

• 路径无关性：如果向量场为全微分的，那么在场内的路径积分是路径无关的 (Path-Independent)->这意味着闭合路径的积分为零

• 零旋度 (Curl-Free Property)

  $$ \nabla \times F=0 $$

注意对于全微分的微分形式 $\omega$ 其定义域一定为开集（因为 $\omega(x)=df(x)$）
庞加莱引理重点关注二维与三维形式

7. Topology
simply-connected, connected

[!tip] Topology Terms
1. 凸集
一个集合被称为凸集如果对于集合中的任意两个点 $x,y\in S$, 连接着两个点的线段全位于该集合中。这意味着:

$$ \lambda x+(1-\lambda)y \in S,\lambda \in[0.1] $$

2. Star-Shaped Set（星形集）
一个集合被称为星形集，如果存在一个点 $x_{0}\in S$,使得从该点到集合中任意点 $y\in S$ 的线段都位于该集合中
从几何直观上，星形集允许局部的凹陷，但必须存在一个“星心”(也可以有多个)
3. Simply Connected Set
一个集合是单连通的，如果对于任何闭合曲线都可以连续收缩成一个点而不离开集合
4. Not-Simply Connected Set（非单连通集）
一个集合是非单连通的，如果至少存在一个“洞”，使得一些闭合曲线无法在该集合内连续收缩成一个点

注意 simply-connected set 的重要例子
注意重要反例 winding form 虽然满足 $d\omega=0$ 但是其定义域并非 star-shaped region,不能找到其整个二维平面内的 antiderivative

8. Parametric Surface

• Parametric Surface 的定义，微分同胚的定义，浸入的定义
• $\mathbb{R}^{n}$ 中由 d 个向量组成的平行多面体
• Gram Determinant

重要定理

1. 紧集、可积、极值
重要理论：定义在紧集上的连续函数均为一致连续，基于此可证在紧集上均可积（可以控制 Darboux Sum 的差值）

• Improper Riemman Integral: 当函数在 $\mathbb{R}$ 上的每一个有界闭区间 (紧集) 上黎曼可积时，当且仅当其 improper 黎曼积分绝对收敛时，函数 f 在 $\mathbb{R}$ 上勒贝格可积

2. 单调有界定理
[[ Lebesgue Integral#Monotone Convergence Theorem ]]
对于一个不减的可积函数序列，且其积分存在一个独立于 k 的上界，那么该序列极限函数的积分即为 k 区域无穷时的积分结果
先满足函数的不减关系，再关注能否找到独立于 k 的函数积分的上界

• 推论：
  考虑一个嵌套的可测集序列，记其嵌套集合的并集为 A,f 在 A 上可积当且仅当 f 在该嵌套集合列中每一个集合上均可积，且其绝对值积分有界。此时我们可以通过其嵌套序列的极限积分去计算 f 在 A 上的积分
  先确定寻找到的可测集序列满足嵌套关系，再确认其于每个集合上可积，且其绝对值积分可以找到不取决于 k 的上界

3. 有界收敛定理
[[ Lebesgue Integral#Bounded Convergence Theorem ]]

[!tip] 有界收敛定理
若 $\mathbb{R}^{n}$ 上可积函数的序列处处收敛，且存在一个独立于 k 的可积函数 $\Phi\geq 0$ 满足对该序列中任意的函数均有 $|f_{k}(x)|\leq \Phi(x)$. 那么这个序列的极限函数可积，且有 $\int f=\lim_{ k \to \infty }\int f_{k}$
Notes

• 又名支配收敛定理， $\Phi$ 为支配函数
• 相比于单调有界定理，不要求严格的函数序关系，但是要求存在极限函数

Parameter Integral

[!tip] Theorem

1. 关于 x 定义在 y 的积分上的函数 F($F(x)=\int_{Y}f(x,y)d^{n}y$ 连续条件:
   • $x\to f(x,y)$ 对任意的 y 连续

   • 存在可积函数 $\phi$ 可以控制 $

     f(x,y)

     $ 的上界

2. F 偏导的性质（即可将微分号移至积分内部）: $\frac{\partial F}{\partial x_{j}}(x)=\int_{Y} \frac{\partial f}{\partial x_{j}}(x,y)d^{n}y$ 满足所需的条件
   • $x\to f(x,y)$ 对于任意的 y 一阶可微 (要求 $X$ 为开集 ->意味着可以对每个 x 找到一个紧的邻域)

   • 存在可积函数 $\phi$ 可以控制 $

     \frac{\partial f}{\partial x_{j}}(x,y)

     $ 的上界 (由于可微与连续均为局部的性质，所以该要求可以弱化为对于每一个给定 x 在其邻域内可以找到函数 $\phi$ 控制上界)

证明连续且能把积分号移至微分号中

• 证明存在可积函数 $\phi(y)$ 能控制 $

  f(x,y)

  $ 的上界（可以弱化要求至对每一个 x 找到一个邻域满足条件）

• 证明 $x\to f(x,y)$ 对于任意的 y 一阶可微

• 证明存在一个可积函数 $\phi(y)$ 可以控制 $

  \frac{\partial f}{\partial x_{j}}(x,y)

  $ 的上界

特别地，在寻找函数控制上界时可以考虑利用 Monotone Convergence Theorem 的推论，先在局部区间上证明

4. Fubini 定理
[[ Lebesgue Integral#Fubini’s Theorem ]]

[!tip] Fubini 定理
1. 定理内容
函数 $f:\mathbb{R}^{m}\times \mathbb{R}^{n}\to \bar{\mathbb{R}}$ 可积，则积分式 $F(y)=\int_{\mathbb{R}^{m}}f(x,y)d^{m}x$ 对任意的 $y\in \mathbb{R}^{n}$ 均存在，且可以交换下式的积分顺序

$$ \int_{\mathbb{R}^{n}}F(y)d^{n}y=\int_{\mathbb{R}^{n}}( \int_{\mathbb{R}^{m}}f(x,y)d^{m}x) d^{n}y = \int_{\mathbb{R}^{m}\times \mathbb{R}^{n}}f(x,y)d^{m+n}(x,y) $$

2. 核心
核心条件为验证 $f(x,y)$ 可积

5. 局部可积函数及其性质
[[ Lebesgue Integral#Locally Integrable Functions ]]

[!tip] 局部可积函数
函数 $f$ 局部可积 ->对于任意的 $x \in\mathbb{R}^{n}$, 均存在一个对应的邻域使 $f$ 在邻域上可积。

1. 以下这些性质均等价:
   • f 局部可积
   • f 在 $\mathbb{R}^{n}$ 的每一个有界开集上可积
   • f 在 $\mathbb{R}^{n}$ 的每一个有界闭集（紧集）上可积
   • f 在以原点为球心，任意有限半径的球内均可积
2. 与 Globally Integrable 的比较
   • Globally Integrable 要求函数在整个定义域上积分均为有限
   • Locally Integrable 仅要求函数在定义域的任意有限区域内可积，函数可能在定义域的某些部分可能区域无穷，但是这些无穷大的区域测度为 0
3. 联系与转化
   $f$ 局部可积且在范数有限 等价于 $f$ 全局可积
4. 任意连续函数 $f:\mathbb{R}^{n}\to \mathbb{R}$ 以及通过在测度为 0 的区域函数值为无穷的连续函数 $g:\mathbb{R}^{n}\to \bar{R}$ 均为局部可积

6. 换元
[[ Lebesgue Integral#Change of Variables ]]

[!tip] 换元理论
对于开集 $U,V \subset \mathbb{R}^{n}$, 且映射 $T:U\to V$ 微分同胚，则有如下换元积分成立。

$$ \int_{U}f(T(x))|\det J_{T}(x)|d^{n}x=\int_{V}f(y)d^{n}y $$

• 勒贝格测度与勒贝格积分在欧几里得变换下保持不变（ $T(x)=Tx+b$,其中 $T$ 为正交矩阵， $b$ 为平移向量）
• 可以直接用换元积分进行体积的测度转换。特别低，对于线性变换，其体积的变化直接体现在线性变换矩阵的行列式上

注意球坐标、柱坐标、极坐标换元以及 Rotational Invariant 函数