Laplace Transform, Transfer Function, and LTIC System Response

#ECE210

拉普拉斯变换 (Laplace Transform)

拉普拉斯变换的引入与定义 (Introduction and Definition)

我们之前学习了傅里叶变换 (Fourier Transform)，它能将时域信号转换到频域进行分析。但是傅里叶变换要求信号满足狄利克雷条件 (Dirichlet conditions)，比如要求信号绝对可积。对于一些不满足这些条件的信号 (例如 $e^{at}u(t)$ 当 $a>0$ 时)，傅里叶变换可能不存在。

拉普拉斯变换可以看作是傅里叶变换的推广。它引入了一个复频率变量 $s=\sigma +j\omega$，其中 $\sigma$ 是实部，代表衰减或增长因子；$\omega$ 是虚部，代表角频率。

对于一个因果信号 (causal signal) $f(t)$ (即当 $t<0$ 时，$f(t)=0$)，其单边拉普拉斯变换 (Unilateral Laplace Transform) 定义为： $$\hat{F}(s)=\mathcal{L}f(t)={\int }_{0^{-}}^{\mathrm{\infty }}f(t)e^{-st}dt$$ 这里的 $0^{-}$ 表示积分下限从略小于0的时刻开始，这样做是为了能够处理在 $t=0$ 时刻可能存在的冲激函数 (impulse function) 或其导数。

• 技术比喻: 想象傅里叶变换是给信号拍了一张“频谱照片”，只能看到信号包含哪些频率成分。拉普拉斯变换则更进一步，它不仅能看到频率成分，还能通过复频率 $s$ 的实部 $\sigma$ 看到这些成分是随时间衰减 ($\sigma >0$)、增长 ($\sigma <0$) 还是稳定 ($\sigma =0$) 的。这就像给信号做了一个更全面的“动态特性扫描”。

对于LTIC System，如果 $h(t)$ 为其的 Impulse Response , 那么系统的 Transer Function 即为其脉冲响应的Laplace Transform的结果

$$H(s)={\int }_0^{\mathrm{\infty }}H(t)e^{-st}dt$$

收敛域 (Region of Convergence, ROC)

拉普拉斯变换的积分不一定对所有的复数 $s$ 都收敛。使积分收敛的 $s$ 的取值范围称为收敛域 (Region of Convergence, ROC)。ROC 是 $s$ 平面 (s-plane) 上的一个区域。

• 对于单边拉普拉斯变换 (因果信号)：
  • ROC 通常是一个位于 $s$ 平面某个垂直线的右半平面。这条垂直线由最右边的极点 (pole) 决定，即 ROC 是 $\text{Re}s>{\sigma }_{max}$，其中 ${\sigma }_{max}$ 是所有极点实部中的最大值。
  • 例如 (Slides p7 Example #1)，$f(t)=e^{t}u(t)$，其拉普拉斯变换为 $\hat{F}(s)=\frac{1}{s-1}$。积分 ${\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^t{e}^{-st}dt={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{(1-s)t}dt$ 收敛的条件是 $\text{Re}1-s<0$，即 $\text{Re}s>1$。所以 ROC 是 $\sigma >1$。这个函数的极点在 $s=1$。
  • 例如 (Slides p8 Example #2)，$h(t)=e^{-t}u(t)$，其拉普拉斯变换为 $\hat{H}(s)=\frac{1}{s+1}$。ROC 是 $\text{Re}s>-1$。极点在 $s=-1$。
• 极点 (Poles): 是使 $\hat{F}(s)$ 的值为无穷大（即不收敛）的 $s$ 的值。它们通常是 $\hat{F}(s)$ 分母多项式的根。

[!tip] 核心 关注函数 $f(t)$ 的 Exact Exponential Order 确定收敛域与极点

• BIBO 稳定与 ROC: 一个 LTIC 系统是 BIBO (Bounded-Input Bounded-Output) 稳定的，当且仅当其传递函数 $\hat{H}(s)$ 的 ROC 包含 $j\omega$ 轴。 对于因果系统，这等价于 $\hat{H}(s)$ 的所有极点 (poles) 都在 s 平面的左半平面 (Left-Half Plane, LHP)，即 $Re(p_i)<0$ for all poles $p_i$。
  • $j\omega$ 轴代表了所有纯正弦频率的输入。如果系统对这些频率的响应都是有界的 (即传递函数在 $j\omega$ 轴上不发散)，那么系统就是 BIBO 稳定的。极点在左半平面意味着系统的自然响应 (冲激响应 $h(t)$) 是随时间衰减的。
  • 对于BIBO的LTIC系统，其系统的Frequency Response一定存在
  • 对于非BIBO的LTIC系统，其系统的Frequecy Response可能不存在，但是拉普拉斯变换依然可能存在

与傅里叶变换的关系 (Relation to Fourier Transform)

如果一个信号 $f(t)$ 的拉普拉斯变换 $\hat{F}(s)$ 的 ROC 包含 $j\omega$ 轴 (即 $\text{Re}s=\sigma =0$ 包含在 ROC 内)，那么该信号的傅里叶变换 $F(\omega )$ 就存在(其实等价于傅里叶变换的绝对可积条件,拉普拉斯变换)，并且可以通过令 $s=j\omega$ 从 $\hat{F}(s)$ 得到： $$F(\omega )=\hat{F}(s){|}_{s=j\omega }$$ 例如，对于 $h(t)=e^{-t}u(t)$，$\hat{H}(s)=\frac{1}{s+1}$，ROC 是 $\text{Re}s>-1$。由于 ROC 包含了 $j\omega$ 轴，所以其傅里叶变换为 $H(\omega )=\frac{1}{j\omega +1}$。 而对于 $f(t)=e^{t}u(t)$，$\hat{F}(s)=\frac{1}{s-1}$，ROC 是 $\text{Re}s>1$。由于 ROC 不包含 $j\omega$ 轴，所以其傅里叶变换不存在 (标准意义上的)。

拉普拉斯变换的性质 (Properties of Laplace Transform)

拉普拉斯变换有很多重要的性质，这些性质在解微分方程和分析系统时非常有用。

1. 线性 (Linearity): $\mathcal{L}a{f}_1(t)+b{f}_2(t)=a{\hat{F}}_1(s)+b{\hat{F}}_2(s)$ ROC 是 ${\hat{F}}_1(s)$ 和 ${\hat{F}}_2(s)$ 各自 ROC 的交集。
2. 时移 (Time Shift): 应用时移时先判断是否为因果信号 对于因果信号 $f(t)u(t)$ 且 $t_0\ge 0$， $\mathcal{L}f(t-t_0)u(t-t_0)=e^{-s{t}_0}\hat{F}(s)$ ROC 不变。 注意： 因果信号和非因果信号在时移性质应用上存在区别。对于非因果信号或不满足 $t_0\ge 0$ 的情况，直接套用此公式可能会出错，此时建议回到定义式进行计算。例如 slides p16 的 Example $h(t)=e^{-(t+2)}u(t+2)$，这里 $t_0=-2<0$，不能直接用时移性质，而应该用定义式。
3. s域平移 (Shift in s-domain / Frequency Shift): $\mathcal{L}{e}^{s_{0}t}f(t)=\hat{F}(s-s_0)$ ROC 会平移：如果原 ROC 是 $\text{Re}s>{\sigma }_0$，则新 ROC 是 $\text{Re}s-s_0>{\sigma }_0$，即 $\text{Re}s>{\sigma }_0+\text{Re}{s}_0$。
4. 时域微分 (Time Differentiation): 对于因果信号， $f(0-)$ 均为0；对于非因果信号，需要考虑其具体值 $\mathcal{L}\frac{df(t)}{dt}=s\hat{F}(s)-f(0^{-})$ $\mathcal{L}\frac{d^{n}f(t)}{d{t}^n}=s^n\hat{F}(s)-s^{n-1}f(0^{-})-s^{n-2}{f}^{\prime }(0^{-})-\cdots -f^{(n-1)}(0^{-})$ ROC 至少是 $\hat{F}(s)$ 的 ROC。如果 $\hat{F}(s)$ 在 $s=0$ 有极点，这个极点可能被微分运算消除。 对于因果信号且初始条件为0 ($f(0^{-})=0,f^{\prime }(0^{-})=0,\dots$)，则 $\mathcal{L}\frac{d^{n}f(t)}{d{t}^n}=s^n\hat{F}(s)$。
5. s域微分 (Differentiation in s-domain): $\mathcal{L}-tf(t)=\frac{d\hat{F}(s)}{ds}$ ROC 不变。
6. 时域积分 (Time Integration): $\mathcal{L}{\int }_{0^{-}}^{t}f(\tau )d\tau =\frac{1}{s}\hat{F}(s)$ ROC 是 $\hat{F}(s)$ 的 ROC 与 $\text{Re}s>0$ 的交集。
7. 卷积 (Convolution): $\mathcal{L}{f}_1(t)\ast f_2(t)={\hat{F}}_1(s){\hat{F}}_2(s)$ ROC 包含 ${\hat{F}}_1(s)$ 和 ${\hat{F}}_2(s)$ 各自 ROC 的交集。这个性质非常重要，它将时域的卷积运算转换成了 $s$ 域的乘积运算。
8. 初值定理 (Initial Value Theorem): 如果 $f(t)$ 在 $t=0^{+}$ 没有冲激或更高阶的奇异性，则 $f(0^{+})=\underset{s\to \mathrm{\infty }}{lim}s\hat{F}(s)$
9. 终值定理 (Final Value Theorem): 如果 $s\hat{F}(s)$ 的所有极点都在左半平面 (LHP)，即 $\underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}f(t)$ 存在，则 $\underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}f(t)=\underset{s\to 0}{lim}s\hat{F}(s)$

拉普拉斯逆变换 (Inverse Laplace Transform, ILT)

从 $s$ 域的表达式 $\hat{F}(s)$ 反求时域信号 $f(t)$ 的过程称为拉普拉斯逆变换，记为 $f(t)={\mathcal{L}}^{-1}\hat{F}(s)$。对于单边拉普拉斯变换，如果 $\hat{F}(s)$ 存在，其逆变换是唯一的 (得到因果信号)。

我们主要处理有理函数 (rational functions) $\hat{F}(s)=\frac{N(s)}{D(s)}$，其中 $N(s)$ 和 $D(s)$ 是关于 $s$ 的多项式。

部分分式展开 (Partial Fraction Expansion, PFE)

PFE 是求有理函数逆变换的常用方法。基本思想是将复杂的 $\hat{F}(s)$ 分解成若干个简单项的和，然后利用已知的拉普拉斯变换对进行逆变换。

1. 预处理：确保为真分式 (Proper Rational Function) 如果 $\hat{F}(s)$ 是假分式 (improper rational function)，即分子多项式 $N(s)$ 的阶数 $\ge$ 分母多项式 $D(s)$ 的阶数，需要先通过多项式长除法 (long division) 将其化为一个多项式和真分式之和： $\hat{F}(s)=Q(s)+\frac{R(s)}{D(s)}$ 其中 $Q(s)$ 是商式多项式，$R(s)$ 是余式多项式且其阶数小于 $D(s)$ 的阶数。多项式 $Q(s)$ 部分的逆变换会产生冲激函数及其各阶导数。余下的真分式 $\frac{R(s)}{D(s)}$ 再进行部分分式展开。

2. 对真分式进行PFE:

   • 情况一：分母 $D(s)$ 只有互异实根 (Distinct Real Poles) (Slides p23-25, Textbook p381-383) 设 $D(s)=(s-p_1)(s-p_2)\dots (s-p_n)$，其中 $p_i$ 互不相同。 $$\hat{F}(s)=\frac{A_1}{s-p_1}+\frac{A_2}{s-p_2}+\cdots +\frac{A_n}{s-p_n}$$ 系数 $A_k$ 可以用“留数法”或“覆盖法” (cover-up method) 计算： $$A_k=[(s-p_k)\hat{F}(s){]}_{s=p_k}$$ 每一项 $\frac{A_k}{s-p_k}$ 的逆变换是 $A_k{e}^{p_{k}t}u(t)$。

   • 情况二：分母 $D(s)$ 有重根 (Repeated Real Poles) 如果 $D(s)$ 包含因子 $(s-p_i{)}^r$，其中 $r$ 是重根的阶数。 对应的部分分式展开项为： $$\frac{A_{i1}}{s-p_i}+\frac{A_{i2}}{(s-p_i{)}^2}+\cdots +\frac{A_{ir}}{(s-p_i{)}^r}$$ 最高阶次项的系数 $A_{ir}$ 仍可用覆盖法计算：$A_{ir} = [(s-p_i)^r \hat{F}(s)]{s=p_i}$。\mathrm{其}\mathrm{他}\mathrm{系}\mathrm{数}$A{i,r-m}$($1 \le m < r$)\mathrm{的}\mathrm{计}\mathrm{算}\mathrm{公}\mathrm{式}\mathrm{为}：$$ A_{i,r-m} = \frac{1}{m!} \frac{d^m}{ds^m} [(s-p_i)^r \hat{F}(s)]{s=p_i} $$ 或者，也可以通过代入特定 $s$ 值或比较系数的方法求解。 每一项 $\frac{A{ik}}{(s-p_i)^k}$\mathrm{的}\mathrm{逆}\mathrm{变}\mathrm{换}\mathrm{是}$\frac{A_{ik}}{(k-1)!} t^{k-1} e^{p_i t}u(t)$。

   • 情况三：分母 $D(s)$ 有共轭复根 (Distinct Complex Conjugate Poles) 如果 $D(s)$ 包含因子 $(s-(\alpha +j\beta ))(s-(\alpha -j\beta ))=(s-\alpha {)}^2+{\beta }^2$。 对应的部分分式展开项为： $$ \frac{K_1}{s-(\alpha+j\beta)} + \frac{K_1^}{s-(\alpha-j\beta)} $$ 其中 $K_1$ 和 $K_1^$\mathrm{是}\mathrm{共}\mathrm{轭}\mathrm{复}\mathrm{数}。$K_1$\mathrm{可}\mathrm{以}\mathrm{用}\mathrm{覆}\mathrm{盖}\mathrm{法}\mathrm{计}\mathrm{算}。\mathrm{这}\mathrm{两}\mathrm{项}\mathrm{的}\mathrm{逆}\mathrm{变}\mathrm{换}\mathrm{合}\mathrm{起}\mathrm{来}\mathrm{是}：$2|K_1|e^{\alpha t} \cos(\beta t + \angle K_1) u(t)$\mathrm{或}\mathrm{者}，\mathrm{也}\mathrm{可}\mathrm{以}\mathrm{将}\mathrm{二}\mathrm{次}\mathrm{不}\mathrm{可}\mathrm{约}\mathrm{因}\mathrm{子}\mathrm{保}\mathrm{留}\mathrm{在}\mathrm{分}\mathrm{母}（\mathrm{然}\mathrm{后}\mathrm{待}\mathrm{定}\mathrm{其}\mathrm{分}\mathrm{子}\mathrm{为}\mathrm{关}\mathrm{于}s\mathrm{的}\mathrm{一}\mathrm{次}\mathrm{函}\mathrm{数}，\mathrm{考}\mathrm{虑}\mathrm{待}\mathrm{定}\mathrm{系}\mathrm{数}\mathrm{法}），\mathrm{展}\mathrm{开}\mathrm{成}$\frac{As+B}{(s-\alpha)^2 + \beta^2}$\mathrm{的}\mathrm{形}\mathrm{式}，\mathrm{然}\mathrm{后}\mathrm{凑}\mathrm{成}\mathrm{标}\mathrm{准}\mathrm{变}\mathrm{换}\mathrm{对}$e^{-\alpha t}\cos(\beta t)u(t) \leftrightarrow \frac{s+\alpha}{(s+\alpha)^2+\beta^2}$\mathrm{和}$e^{-\alpha t}\sin(\beta t)u(t) \leftrightarrow \frac{\beta}{(s+\alpha)^2+\beta^2}$ 的线性组合。

处理非真有理函数 (Improper Rational Functions)

如果 $\hat{F}(s)=\frac{N(s)}{D(s)}$ 中，$N(s)$ 的阶数 $\ge D(s)$ 的阶数，则 $\hat{F}(s)$ 是非真有理函数。 需要先用多项式长除法： $\hat{F}(s)=Q(s)+\frac{R(s)}{D(s)}$，其中 $Q(s)$ 是商多项式，$R(s)/D(s)$ 是真有理分式。 $Q(s)$ 的反变换会包含冲激函数及其导数。 例如：

• 如果 $Q(s)=C_0$ (常数)，则 ${\mathcal{L}}^{-1}{C}_0=C_0\delta (t)$。

• 如果 $Q(s)=C_{1}s$，则 ${\mathcal{L}}^{-1}{C}_{1}s=C_1{\delta }^{\prime }(t)$ (假设因果)。

• Case 1: $\hat{F}(s)=s^k\hat{G}(s)$
  • 前提: $\hat{G}(s)$ 是一个已知的变换，通常是真有理函数，其反变换为 $g(t)$。
  • 条件: $g(t)$ 是因果的，并且在 $t=0^{-}$ 处的初始值及其直到 $(k-1)$ 阶导数均为零。即 $g(0^{-})=g^{\prime }(0^{-})=\cdots =g^{(k-1)}(0^{-})=0$。
  • 结论: $f(t)=\frac{d^{k}g(t)}{d{t}^k}$。
  • 解释: 这是拉普拉斯变换的时域微分性质的直接应用：$\text{Missing or unrecognized delimiter for left}$。当初始条件为零时，后面减去的项都消失了。
  • Example 13 (Slide 33): $\hat{F}(s)=\frac{s}{s+1}$
    • 这里 $k=1$, $\hat{G}(s)=\frac{1}{s+1}$。
    • $g(t)={\mathcal{L}}^{-1}\hat{G}(s)=e^{-t}u(t)$。
    • $g(t)$ 是因果的，且 $g(0^{-})=0$ (因为 $u(0^{-})=0$)。
    • 所以 $f(t)=\frac{d}{dt}g(t)=\frac{d}{dt}(e^{-t}u(t))$。
    • 使用乘积求导法则: $f(t)=(\frac{d}{dt}{e}^{-t})u(t)+e^{-t}(\frac{d}{dt}u(t))=-e^{-t}u(t)+e^{-t}\delta (t)$。
    • 利用冲激函数的筛选性质 (sifting property): $e^{-t}\delta (t)=e^{-0}\delta (t)=\delta (t)$。
    • 所以 $f(t)=-e^{-t}u(t)+\delta (t)$。
  • 与长除法联系: $\frac{s}{s+1}=\frac{s+1-1}{s+1}=\frac{s+1}{s+1}-\frac{1}{s+1}=1-\frac{1}{s+1}$。 这里 $Q(s)=1$, $\frac{R(s)}{D(s)}=-\frac{1}{s+1}$。 ${\mathcal{L}}^{-1}1=\delta (t)$。 ${\mathcal{L}}^{-1}-\frac{1}{s+1}=-e^{-t}u(t)$。 结果一致。可见 Case 1 是长除法的一种特殊情况，当除法结果是 $s^k$ 乘以一个简单的真有理分式时，可以看作是对真有理分式对应的时域信号求导。
• Case 2: $\hat{F}(s)=\frac{s^n+P_N(s)}{s^n+P_D(s)}$ (分子分母同阶，最高次系数为1)
  • 形式: $\hat{F}(s)=\frac{s^n+\text{低阶项}}{s^n+\text{低阶项}}$ (这里 $P(s)$ 在 PPT 中指的是分母的低阶项，即 $D(s)=s^n+P(s)$，而分子是 $s^n$。PPT 的写法是 $\hat{F}(s)=\frac{s^n}{s^n+P(s)}$)
  • 处理: $\hat{F}(s)=\frac{s^n+P(s)-P(s)}{s^n+P(s)}=1-\frac{P(s)}{s^n+P(s)}$。
  • 令 $\hat{G}(s)=\frac{P(s)}{s^n+P(s)}$ (这是一个真有理函数)。
  • 则 $f(t)=\delta (t)-g(t)$。
  • Example 14 (Slide 35): $\hat{F}(s)=\frac{s}{s+1}$。
    • $n=1$, $P(s)=1$ (与 PPT 记号对应)。
    • $\hat{F}(s)=\frac{s}{s+1}=1-\frac{1}{s+1}$。
    • $\hat{G}(s)=\frac{1}{s+1}$, $g(t)=e^{-t}u(t)$。
    • $f(t)=\delta (t)-e^{-t}u(t)$。
  • 解释: 这本质上就是多项式长除法的第一步。商是1，余数是 $-P(s)$。
• Case 3: $\hat{F}(s)=\frac{s^n+Q_N(s)}{s^n+P_D(s)}$ (分子分母同阶，最高次系数为1，分子有额外低阶项)
  • 形式: $\hat{F}(s)=\frac{s^n+Q(s)}{s^n+P(s)}$ (这里 $Q_N(s)$ 是分子 $N(s)$ 的低阶项 $Q(s)$, $P_D(s)$ 是分母 $D(s)$ 的低阶项 $P(s)$)。
  • 处理: $\hat{F}(s)=\frac{s^n+P(s)+Q(s)-P(s)}{s^n+P(s)}=1+\frac{Q(s)-P(s)}{s^n+P(s)}$。
  • 令 $\hat{G}(s)=\frac{Q(s)-P(s)}{s^n+P(s)}$ (这是一个真有理函数)。
  • 则 $f(t)=\delta (t)+g(t)$。
  • Example 15 (Slide 37): $\hat{F}(s)=\frac{s^2+1}{s^2+3s+2}$。
    • $n=2$, $Q(s)=1$, $P(s)=3s+2$。
    • $\hat{F}(s)=\frac{s^2+3s+2-3s-2+1}{s^2+3s+2}=1+\frac{-3s-1}{s^2+3s+2}=1-\frac{3s+1}{s^2+3s+2}$。
    • 令 $\hat{G}{orig}(s) = \frac{3s+1}{s^2+3s+2}$。$\hat{G}{orig}(s) = \frac{3s+1}{(s+1)(s+2)} = \frac{A}{s+1} + \frac{B}{s+2}$。$A = \frac{3(-1)+1}{-1+2} = \frac{-2}{1} = -2$。$B = \frac{3(-2)+1}{-2+1} = \frac{-5}{-1} = 5$。$\hat{G}{orig}(s) = \frac{-2}{s+1} + \frac{5}{s+2}$。$g{orig}(t) = (-2e^{-t} + 5e^{-2t})u(t)$。
    • 所以 $f(t)=\delta (t)-g_{orig}(t)=\delta (t)-(-2e^{-t}+5e^{-2t})u(t)=\delta (t)+(2e^{-t}-5e^{-2t})u(t)$。
    • PPT 中的 $\hat{G}(s)$ 是 $\frac{-(3s+1)}{s^2+3s+2}$, 所以 $f(t)=\delta (t)+g(t)$，其中 $g(t)=(2e^{-t}-5e^{-2t})u(t)$。结果一致。
  • 解释: 这同样是多项式长除法的第一步。商是1，余数是 $Q(s)-P(s)$。
• Case 4: $\hat{F}(s)=e^{-as}\frac{N(s)}{D(s)}$ (其中 $\frac{N(s)}{D(s)}$ 可能是真或非真有理)
  • 前提: $a>0$。
  • 处理: 这利用了时移性质。
    1. 首先，令 $\hat{H}(s)=\frac{N(s)}{D(s)}$ (忽略 $e^{-as}$ 项)。
    2. 求出 $h(t)={\mathcal{L}}^{-1}\hat{H}(s)$。如果 $\hat{H}(s)$ 本身是非真有理的，则在这一步就需要用前面的方法 (如长除法) 处理 $\hat{H}(s)$。
    3. 然后 $f(t)=h(t-a)u(t-a)$ (如果 $h(t)$ 是因果的，即 $h(t)=h(t)u(t)$)。更准确地说是 $f(t)=h_0(t-a)$ 其中 $h_0(t)$ 是 $\hat{H}(s)$ 对应的信号。通常我们处理因果信号，所以 $\hat{H}(s)$ 的反变换 $h(t)$ 本身就包含了 $u(t)$ 或者我们假设其为因果的。
  • Example 16 (Slide 39): $\hat{F}(s)=e^{-2s}\frac{1}{s+1}$。
    • $a=2$。
    • $\hat{G}(s)=\frac{1}{s+1}$ (PPT 中用 $\hat{G}(s)$ 表示 $\frac{N(s)}{D(s)}$)。
    • $g(t)={\mathcal{L}}^{-1}\hat{G}(s)=e^{-t}u(t)$。
    • 所以 $f(t)=g(t-2)=e^{-(t-2)}u(t-2)$。
  • 如果 $\frac{N(s)}{D(s)}$ 非真? 例如 $\hat{F}(s)=e^{-as}\frac{s}{s+1}$。
    1. 令 $\hat{H}(s)=\frac{s}{s+1}=1-\frac{1}{s+1}$。
    2. $h(t)={\mathcal{L}}^{-1}\hat{H}(s)=\delta (t)-e^{-t}u(t)$。
    3. $f(t)=h(t-a)=\delta (t-a)-e^{-(t-a)}u(t-a)$。

s-domain Analysis of LTIC Systems (LTIC 系统的 s 域分析)

s 域分析是利用拉普拉斯变换 (Laplace Transform) 将时域(time-domain) 中的线性时不变 (Linear Time-Invariant, LTIC) 系统及其信号转换到复频域 (s-domain)进行分析的方法。这样做通常可以简化分析过程，特别是对于涉及微分方程的系统。

基本概念

1. 系统输入输出关系:
   • 在时域中，LTIC 系统的输出 $y(t)$ 是输入 $f(t)$ 与系统冲激响应 (impulse response) $h(t)$ 的卷积 (convolution): $$y(t)=f(t)\ast h(t)$$
   • 在 s 域中，卷积运算转换为乘法运算。设 $\hat{F}(s)$, $\hat{Y}(s)$, $\hat{H}(s)$ 分别是 $f(t)$, $y(t)$, $h(t)$ 的拉普拉斯变换，则零状态响应 (zero-state response) $\hat{Y}{zs}(s)$\mathrm{为}：$$ \hat{Y}{zs}(s) = \hat{F}(s) \hat{H}(s) $$ 其中 $\hat{H}(s)$ 被称为系统的传递函数 (Transfer Function)。
2. 传递函数 (Transfer Function):
   • 传递函数 $\hat{H}(s)$ 定义为系统在零初始条件下，输出信号的拉普拉斯变换与输入信号的拉普拉斯变换之比： $$\hat{H}(s)=\frac{{\hat{Y}}_{zs}(s)}{\hat{F}(s)}$$
   • 对于集总参数 (lumped element) LTIC 系统，其传递函数通常是 s 的有理函数 (rational function)，即两个多项式之比： $$\hat{H}(s)=\frac{N(s)}{D(s)}=\frac{b_0{s}^m+b_1{s}^{m-1}+\cdots +b_m}{s^n+a_1{s}^{n-1}+\cdots +a_n}$$ 其中 $N(s)$ 是分子多项式， $D(s)$ 是分母多项式。
3. 从传递函数到微分方程 (零状态):
   • 将 $\hat{Y}{zs}(s) = \hat{F}(s) \hat{H}(s)$\mathrm{变}\mathrm{形}\mathrm{为}：$$ \hat{Y}{zs}(s) D(s) = \hat{F}(s) N(s) $$\mathrm{展}\mathrm{开}\mathrm{后}\mathrm{得}\mathrm{到}：$$ \hat{Y}_{zs}(s) (s^n + a_1s^{n-1} + \dots + a_n) = \hat{F}(s) (b_0s^m + b_1s^{m-1} + \dots + b_m) $$
   • 利用拉普拉斯变换的微分性质 (假设信号为因果信号且初始条件为零，即 $\mathcal{L}\frac{d^{k}x(t)}{d{t}^k}=s^k\hat{X}(s)$)，可以将上式反变换回时域，得到描述系统零状态响应的微分方程： $$\frac{d^n{y}_{zs}(t)}{d{t}^n}+a_1\frac{d^{n-1}{y}_{zs}(t)}{d{t}^{n-1}}+\cdots +a_n{y}_{zs}(t)=b_0\frac{d^{m}f(t)}{d{t}^m}+b_1\frac{d^{m-1}f(t)}{d{t}^{m-1}}+\cdots +b_{m}f(t)$$

完整解 (Full Solution) - 包含初始条件

以微分方程视角看

• Zero-state output：对应微分方程的特解
• Zero-input output：对应微分方程的齐次解

系统的完整响应 $y(t)$ 包括零状态响应 $y_{zs}(t)$ 和零输入响应 (zero-input response) $y_{zi}(t)$： $$y(t)=y_{zs}(t)+y_{zi}(t)$$ 在 s 域中： $$ \hat{Y}(s) = \hat{Y}{zs}(s) + \hat{Y}{zi}(s) $$

1. 考虑初始条件的拉普拉斯变换:
   • 当考虑非零初始条件时，时域微分的拉普拉斯变换为： $$\text{Missing or unrecognized delimiter for left}$$
   • 将描述系统的微分方程 (包含 $y(t)$ 和 $f(t)$ 及其各阶导数) 进行拉普拉斯变换，并代入上述带有初始条件的微分性质。假设输入 $f(t)$ 是因果的 (causal)，则其在 $t<0$ 时的初始条件为零。
   • 整理后，可以将 $\hat{Y}(s)$ 表示为： $$\hat{Y}(s)(s^n+a_1{s}^{n-1}+\cdots +a_n)-I_y(s)=\hat{F}(s)(b_0{s}^m+b_1{s}^{m-1}+\cdots +b_m)-I_f(s)$$ 其中 $I_y(s)$ 是包含 $y(t)$ 及其导数在 $t=0^{-}$ 处初始条件的多项式， $I_f(s)$ 是包含 $f(t)$ 及其导数在 $t=0^{-}$ 处初始条件的多项式。 如果输入 $f(t)$ 是在 $t\ge 0$ 时才施加的 (causal input)，则 $I_f(s)=0$。
2. 分离零状态响应和零输入响应:
   • 求解 $\hat{Y}(s)$： $$\hat{Y}(s)=\frac{N(s)}{D(s)}\hat{F}(s)+\frac{I_y(s)-I_f(s)\text{ (assuming }{I}_f(s)\text{ moved from RHS)}}{D(s)}$$ 其中 $D(s)=s^n+a_1{s}^{n-1}+\cdots +a_n$ 且 $N(s)=b_0{s}^m+\cdots +b_m$。
   • 因此：
     • 零状态响应 (Zero-State Response): $${\hat{Y}}_{zs}(s)=\frac{N(s)}{D(s)}\hat{F}(s)=\hat{H}(s)\hat{F}(s)$$ 这部分响应只由输入 $\hat{F}(s)$ 引起，假设所有初始条件为零。
     • 零输入响应 (Zero-Input Response): $${\hat{Y}}_{zi}(s)=\frac{P(s)}{D(s)}$$ 其中 $P(s)$ 是一个仅由系统初始条件 $y(0^{-}),y^{\prime }(0^{-}),\dots ,y^{(n-1)}(0^{-})$ 和输入信号在 $t=0^{-}$ 时的初始条件 (如果输入非因果) 决定的多项式。如果输入是因果的，则 $P(s)$ 仅由 $y(t)$ 的初始条件决定。这部分响应只由系统初始状态引起，假设输入为零。

特征多项式、特征极点和特征模式

1. 特征多项式 (Characteristic Polynomial):
   • 系统微分方程的特征多项式是传递函数分母 $D(s)$ (或者说，是齐次微分方程对应的代数多项式，或即系统输出对应的代数多项式): $$D(s)=s^n+a_1{s}^{n-1}+\cdots +a_n$$
   • 这个多项式决定了系统的固有行为特性。
2. 特征极点 (Characteristic Poles):
   • 特征多项式的根 $p_1,p_2,\dots ,p_n$ (即满足 $D(s)=0$ 的 $s$ 值) 称为系统的特征极点。
   • 这些极点的位置直接影响系统的稳定性和响应特性。
   • 注意：这里的特征极点是指导致 $D(s)=0$ 的值。传递函数的极点是 $D(s)=0$ 的根，并且不能与 $N(s)=0$ 的根 (零点) 相消。
3. 特征模式 (Characteristic Modes):
   • 零输入响应 $y_{zi}(t)$ 的形式由特征极点决定。
     • 如果 $p_i$ 是一个单实数极点，则对应的模式是 $A_i{e}^{p_{i}t}$。
     • 如果 $p_i,p_i^{\ast }$ 是一对共轭复极点 ${\sigma }_i\pm j{\omega }_i$，则对应的模式是 $e^{{\sigma }_{i}t}(B_i\cos ({\omega }_{i}t)+C_i\sin ({\omega }_{i}t))$。
     • 如果 $p_i$ 是一个 $k$ 重实数极点，则对应的模式是 $(A_1+A_{2}t+\cdots +A_k{t}^{k-1})e^{p_{i}t}$。
   • 这些模式是系统“喜欢”振荡或衰减的方式，是系统的固有行为。

系统稳定性

1. BIBO 稳定 (Bounded-Input Bounded-Output Stability):
   • 如果一个系统对于任何有界输入，其输出也是有界的，则称该系统是 BIBO 稳定的。
   • 对于 LTIC 系统，BIBO 稳定的充要条件是其传递函数 $\hat{H}(s)$ 的所有极点都在 s 平面的左半平面 (Left-Half Plane, LHP)，即所有极点的实部都小于零 ($\text{Re}{p}_i<0$)。(这里指的是经过零极点对消后的最简形式传递函数的极点)。
   • 这意味着 $\hat{H}(s)$ 的收敛域 (Region of Convergence, ROC) 包含虚轴 $j\omega$-axis。
   • 这也意味着系统的冲激响应的Exact Exponential Order小于0
2. 渐近稳定 (Asymptotical Stability) :
   • 如果系统的零输入响应 $y_{zi}(t)$ 随着时间 $t\to \mathrm{\infty }$ 趋近于零，即 $\underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}{y}_{zi}(t)=0$，则称系统是渐近稳定的。
   • 这要求系统的所有特征极点 (characteristic poles，即 $D(s)=0$ 的所有根，在进行任何可能的传递函数零极点对消之前) 都在 s 平面的左半平面。
3. 边缘稳定 (Marginally Stable):
   • 如果系统的零输入响应 $y_{zi}(t)$ 随着 $t\to \mathrm{\infty }$ 保持有界但不趋于零 (例如，产生持续的等幅振荡)，则称系统是边缘稳定的。
   • 这通常发生在系统存在位于虚轴上的单重极点 (non-repeated poles on the $j\omega$-axis)，且其他极点都在左半平面时。
   • 如果虚轴上有重根极点，系统通常是不稳定的 (零输入响应会随时间无限增大，如 $t\sin (\omega t)$)。

注意区分 BIBO 稳定和渐近稳定:

• 一个系统可能存在位于右半平面或虚轴上的特征极点，但如果这些极点恰好被传递函数的零点所抵消，那么该系统可能仍然是 BIBO 稳定的 (因为这些“坏”模式不会被外部输入所激励)。
• 然而，这样的系统不是渐近稳定的，因为其零输入响应 (如果初始条件恰好能激励这些未被抵消的模式) 可能不会衰减到零。
• 通常，如果所有特征极点都在左半平面，系统既是 BIBO 稳定的也是渐近稳定的。

LTIC 电路在 s 域的分析

可以将电路元件直接转换到 s 域进行分析，这使得包含电感和电容的交流和暂态电路分析更加系统化。

1. 电阻 (Resistor R):
   • 时域: $v(t)=Ri(t)$
   • s 域: $\hat{V}(s)=R\hat{I}(s)$
   • 阻抗 (Impedance): $Z_R(s)=R$
2. 电感 (Inductor L):
   • 时域: $v(t)=L\frac{di(t)}{dt}$
   • s 域 (考虑初始电流 $i(0^{-})$): $\hat{V}(s)=sL\hat{I}(s)-Li(0^{-})$
     • 这可以看作是一个阻抗 $sL$ 串联一个电压源 $Li(0^{-})$ (方向与电流 $\hat{I}(s)$ 流过 $sL$ 产生的电压降相反，即 $Li(0^{-})$ 的正端朝向电流流入端)。
   • 阻抗: $Z_L(s)=sL$
3. 电容 (Capacitor C):
   • 时域: $i(t)=C\frac{dv(t)}{dt}$
   • s 域 (考虑初始电压 $v(0^{-})$): $\hat{I}(s)=sC\hat{V}(s)-Cv(0^{-})$
     • 变形为 $\hat{V}(s)=\frac{1}{sC}\hat{I}(s)+\frac{v(0^{-})}{s}$
     • 这可以看作是一个阻抗 $\frac{1}{sC}$ 串联一个电压源 $\frac{v(0^{-})}{s}$ (方向与 $v(0^{-})$ 一致，即 $v(0^{-})$ 的正极性对应 $\frac{v(0^{-})}{s}$ 电压源的正端)。
   • 阻抗: $Z_C(s)=\frac{1}{sC}$

使用这些 s 域等效模型后，就可以像分析纯电阻电路一样，使用基尔霍夫定律 (Kirchhoff’s Laws)、节点电压法、网孔电流法等标准电路分析技术来求解 s 域中的电压和电流。

LTIC 系统组合 (LTIC System Combinations)

多个 LTIC 系统可以组合成更复杂的系统。它们的总体传递函数可以通过各个子系统的传递函数来确定。

1. 串联/级联 (Series or Cascade):
   • 系统 $H_1$ 的输出是系统 $H_2$ 的输入，以此类推。 $f(t)\to \boxed{{\displaystyle H_1(s)}}\to \boxed{{\displaystyle H_2(s)}}\to \cdots \to \boxed{{\displaystyle H_k(s)}}\to y(t)$
   • 总体传递函数是各个子系统传递函数的乘积： $${\hat{H}}_{overall}(s)={\hat{H}}_1(s){\hat{H}}_2(s)\dots {\hat{H}}_k(s)$$
2. 并联 (Parallel):
   • 同一个输入信号 $f(t)$ 同时作用于多个子系统 $H_1,H_2,\dots ,H_k$，它们的输出相加得到最终输出 $y(t)$。
   • 总体传递函数是各个子系统传递函数的和： $${\hat{H}}_{overall}(s)={\hat{H}}_1(s)+{\hat{H}}_2(s)+\cdots +{\hat{H}}_k(s)$$
3. 反馈 (Feedback):
   • 一个基本的负反馈系统，包含一个前向通路 (forward path) ${\hat{H}}_1(s)$ 和一个反馈通路 (feedback path) ${\hat{H}}_2(s)$。输出信号的一部分通过 ${\hat{H}}_2(s)$ 反馈到输入端，与原始输入信号作差 (负反馈) 或作和 (正反馈) 后，再进入 ${\hat{H}}_1(s)$。
   • 对于负反馈系统： $${\hat{H}}_{overall}(s)=\frac{{\hat{H}}_1(s)}{1+{\hat{H}}_1(s){\hat{H}}_2(s)}$$
   • 对于正反馈系统 (幻灯片中未明确画出，但若反馈信号是相加)： $${\hat{H}}_{overall}(s)=\frac{{\hat{H}}_1(s)}{1-{\hat{H}}_1(s){\hat{H}}_2(s)}$$
   • 反馈是控制系统中非常重要的概念，可以用来改善系统性能，如提高稳定性、减小误差、改变系统响应速度等。