#ECE210

卷积 (Convolution) 与冲激响应 (Impulse Response) $h(t)$

冲激响应的定义

  • 对于一个线性时不变 (Linear Time-Invariant, LTI) 系统，如果在频域中输入信号的傅里叶变换 $F(\omega)$ 和系统的频率响应 $H(\omega)$ 都存在，那么输出信号的傅里叶变换是 $Y(\omega) = F(\omega)H(\omega)$ 。
  • 但是，如果 $F(\omega)$ 或 $H(\omega)$ 不存在，频域方法就不适用了。这时，我们在时域中使用卷积来描述系统的行为：输出信号 $y(t)$ 等于输入信号 $f(t)$ 与系统的冲激响应 $h(t)$ 的卷积。 $$ y(t) = f(t) * h(t) $$ 这个时域卷积方法总是适用的，只要积分收敛。
  • 那么，如果我们不知道一个 LTI 系统的冲激响应 $h(t)$，该如何获取呢？
  • 我们可以通过给系统施加一个单位冲激信号 (Unit Impulse Signal) $\delta(t)$ 作为输入，此时系统的输出就是其冲激响应 $h(t)$。 $$ y(t) = \delta(t) * h(t) = h(t) $$ 因此，$h(t)$ 被定义为 LTI 系统对单位冲激输入 $\delta(t)$ 的零状态响应 (Zero-State Response)。

冲激响应与单位阶跃响应 (Unit-Step Response)

  • 如果 LTI 系统的输入是单位阶跃信号 (Unit-Step Signal) $u(t)$，那么输出 $y(t)$ 被称为单位阶跃响应 (Unit-Step Response)，通常也用 $g(t)$ 表示。这个响应等于 $u(t)$ 与 $h(t)$ 的卷积： $$y(t) = g(t) = u(t) * h(t)$$
  • 我们知道冲激函数 $\delta(t)$ 是阶跃函数 $u(t)$ 的导数 ($\delta(t) = \frac{d}{dt}u(t)$)。利用卷积的性质，我们可以得到冲激响应 $h(t)$ 是单位阶跃响应 $g(t)$ 的导数： $$ h(t) = \frac{d}{dt} g(t) $$ 单位阶跃相应求导即为单位冲激相应

示例 1

  • 给定 LTI 系统的单位阶跃响应为 $y(t) = g(t) = \frac{1}{3}(1 - e^{-3t})u(t)$ [Slide 5]。
  • 求冲激响应 $h(t)$。
  • 解: 我们对 $g(t)$ 求导得到 $h(t)$： $$ h(t) = \frac{d}{dt} \left[ \frac{1}{3}(1 - e^{-3t})u(t) \right] $$ 使用链式法则和乘积法则： $$ h(t) = \frac{1}{3} \frac{d}{dt}(1 - e^{-3t}) \cdot u(t) + \frac{1}{3}(1 - e^{-3t}) \cdot \frac{d}{dt}u(t) $$ $$ h(t) = \frac{1}{3} (0 - (-3)e^{-3t}) u(t) + \frac{1}{3}(1 - e^{-3t}) \delta(t) $$ $$ h(t) = e^{-3t}u(t) + \frac{1}{3}(1 - e^{-3(0)}) \delta(t) \quad (\text{因为 } f(t)\delta(t) = f(0)\delta(t)) $$ $$ h(t) = e^{-3t}u(t) + \frac{1}{3}(1 - 1) \delta(t) $$ $$ h(t) = e^{-3t}u(t) $$ 所以，该系统的冲激响应是 $h(t) = e^{-3t}u(t)$。

示例 2

  • 给定 LTI 系统的单位阶跃响应为 $y(t) = g(t) = e^{-t}u(t)$。
  • 求冲激响应 $h(t)$。
  • 解: 同样对 $g(t)$ 求导： $$ h(t) = \frac{d}{dt} [e^{-t}u(t)] $$ $$ h(t) = (\frac{d}{dt}e^{-t}) u(t) + e^{-t} (\frac{d}{dt}u(t)) $$ $$ h(t) = -e^{-t}u(t) + e^{-t}\delta(t) $$ $$ h(t) = -e^{-t}u(t) + e^{-0}\delta(t) \quad (\text{因为 } f(t)\delta(t) = f(0)\delta(t)) $$ $$ h(t) = -e^{-t}u(t) + \delta(t) $$ 所以，该系统的冲激响应是 $h(t) = \delta(t) - e^{-t}u(t)$。

有界输入有界输出稳定性 (Bounded Input-Bounded Output, BIBO Stability)

BIBO 稳定性的定义

  • 考虑一个系统，输入为 $f(t)$，输出为 $y(t)$。
  • 如果对于任何有界的输入信号 $f(t)$ (即存在一个常数 $M_f < \infty$ 使得 $ f(t) \le M_f$ 对所有 $t$ 成立)，系统的输出信号 $y(t)$ 也总是有界的 (即存在一个常数 $M_y < \infty$ 使得 $ y(t) \le M_y$ 对所有 $t$ 成立)，那么这个系统就称为 BIBO 稳定系统。

LTI 系统的 BIBO 稳定性条件

  • 对于 LTI 系统，判断其是否 BIBO 稳定有一个明确的充要条件：当且仅当其冲激响应 $h(t)$ 是绝对可积 (Absolutely Integrable) 的 。 $$ \int_{-\infty}^{\infty} |h(t)| dt < \infty $$ 这意味着冲激响应 $h(t)$ 的绝对值在整个时间轴上的积分必须是一个有限值。

示例 3

  • 判断下列冲激响应对应的 LTI 系统是否 BIBO 稳定：
    1. $h(t) = \sin(\omega_0 t)$
      • 计算积分: $\int_{-\infty}^{\infty} \sin(\omega_0 t) dt$。这个积分显然是发散的 (无穷大)，因为 $ \sin(\omega_0 t) $ 是一个周期函数，在一个周期内的积分大于零，在无限区间上积分会累积到无穷。
      • 结论: 系统不稳定。
    2. $h(t) = \sin(\omega_0 t) \text{rect}(t)$
      • $\text{rect}(t)$ 函数在 $[-1/2, 1/2]$ 区间为 1，其他地方为 0。所以 $h(t)$ 只在 $t \in [-1/2, 1/2]$ 时不为零。
      • 计算积分: $\int_{-\infty}^{\infty} \sin(\omega_0 t) \text{rect}(t) dt = \int_{-1/2}^{1/2} \sin(\omega_0 t) dt$。由于 $\sin(\omega_0 t)$ 在有限区间 $[-1/2, 1/2]$ 上是有界的，其绝对值在该有限区间上的积分必然是一个有限值。
      • 结论: 系统 BIBO 稳定。
    3. $h(t) = \text{sinc}(\omega_0 t) = \frac{\sin(\omega_0 t)}{\omega_0 t}$
      • 计算积分: $\int_{-\infty}^{\infty} \text{sinc}(\omega_0 t) dt = \int_{-\infty}^{\infty} \left \frac{\sin(\omega_0 t)}{\omega_0 t}\right dt$。这个积分是发散的 (类似于 $\int 1/t dt$)。虽然 $\int_{-\infty}^{\infty} \text{sinc}(\omega_0 t) dt$ (没有绝对值) 是收敛的 (等于 $\pi/ \omega_0 $，如果 $\omega_0 \neq 0$)，但绝对值的积分是发散的。
      • 结论: 系统不稳定。
    4. $h(t) = \sin(\omega_0 t) e^{- t }$
      • 计算积分: $\int_{-\infty}^{\infty} \sin(\omega_0 t) e^{- t } dt \le \int_{-\infty}^{\infty} e^{- t } dt$ (因为 $ \sin(\omega_0 t) \le 1$)。
      • $\int_{-\infty}^{\infty} e^{- t } dt = 2 \int_{0}^{\infty} e^{-t} dt = 2 [-e^{-t}]_0^\infty = 2 (0 - (-1)) = 2$。
      • 由于 $\int_{-\infty}^{\infty} h(t) dt$ 小于等于一个有限值 (2)，所以它本身也是有限的。
      • 结论: 系统 BIBO 稳定。
    5. $h(t) = \delta(t - 1)$
      • 计算积分: $\int_{-\infty}^{\infty} \delta(t - 1) dt = 1$。根据 $\delta$ 函数的性质，其积分为 1。
      • 结论: 系统 BIBO 稳定。

因果性 (Causality)

因果性的定义

  • 一个系统被称为因果系统 (Causal System)，如果其在任意时刻 $t$ 的输出 $y(t)$ 仅取决于当前时刻及过去时刻的输入 $f(\tau)$ (即 $\tau \le t$)，而不依赖于未来时刻的输入 $f(\tau)$ (即 $\tau > t$)。
  • 如果系统的输出依赖于未来的输入，则该系统称为非因果系统 (Non-causal System)。非因果系统在物理上是不可实现的 (Unrealizable)，因为我们无法预知未来。例如，一个系统不可能在输入施加之前就产生输出。

LTI 系统的因果性条件

  • 对于 LTI 系统，其因果性的充要条件是：当且仅当其冲激响应 $h(t)$ 在 $t < 0$ 时恒等于 0 $$ h(t) = 0 \quad \text{for all } t < 0 $$ 这意味着冲激响应函数不能在时间 $t=0$ (即施加冲激输入的时刻) 之前有任何非零值。

示例 4 (来自 Slides)

  • 判断下列冲激响应对应的 LTI 系统是否是因果系统：
    1. $h(t) = \text{sinc}(\omega_0 t) = \frac{\sin(\omega_0 t)}{\omega_0 t}$
      • $\text{sinc}$ 函数在 $t < 0$ 时不为零 (例如 $t = -\pi/(2\omega_0)$ 时)。
      • 结论: 系统非因果。
    2. $h(t) = u(t)$
      • 单位阶跃函数 $u(t)$ 在 $t < 0$ 时等于 0。
      • 结论: 系统因果。
    3. $h(t) = e^{-t}$
      • 指数函数 $e^{-t}$ 在 $t < 0$ 时不为零 (例如 $t=-1$ 时 $h(-1)=e^1 \neq 0$)。
      • 结论: 系统非因果。
    4. $h(t) = e^{-t} u(t - 1)$
      • $u(t-1)$ 函数在 $t < 1$ 时为 0。因此 $h(t)$ 在 $t < 1$ 时都为 0，自然也满足在 $t < 0$ 时为 0。
      • 结论: 系统因果。
    5. $h(t) = \delta(t)$
      • $\delta(t)$ 函数仅在 $t=0$ 时非零，在 $t < 0$ 时等于 0。
      • 结论: 系统因果。
  • 注意: 教材 Example 10.13 中给出的系统 $h(t) = \delta(t + 1/2) - \delta(t - 1/2)$ 是非因果的，因为它在 $t = -1/2$ (即 $t<0$) 时有响应。其输出 $y(t) = f(t+1/2) - f(t-1/2)$ 依赖于未来的输入 $f(t+1/2)$ 。教材 Example 10.14 中给出的 $h(t) = \delta(t) + u(t+1)$ 也是非因果的，因为 $u(t+1)$ 在 $-1 \le t < 0$ 时不为零。

线性时不变因果系统 (Linear Time-Invariant Causal, LTIC Systems)

  • 一个系统如果同时满足线性 (Linear)、时不变 (Time-invariant) 和 因果 (Causal) 这三个特性，就被称为 LTIC 系统。
  • 因此，LTIC 系统是 LTI 系统的一个子集，它额外满足因果性条件，即 $h(t) = 0$ for $t < 0$ 。
  • 一个信号 $f(t)$ 如果可以作为某个 LTIC 系统的冲激响应，那么这个信号本身也被称为因果信号 (Causal Signal)，即它满足 $f(t) = 0$ for $t < 0$ 。

系统性质的综合判断 (示例 5-8)

Slides 中的 Example 5 到 8 要求判断给定输入输出关系的系统是否是线性、时不变、BIBO 稳定和/或因果的。这需要回顾线性、时不变的定义，并结合我们刚讨论的 BIBO 稳定性和因果性概念。

示例 5: $y(t) = \sin(t + 3) f(t)$

  • 线性?
    • 检查可加性: $y_1(t) = \sin(t+3)f_1(t)$, $y_2(t) = \sin(t+3)f_2(t)$。输入 $f_1(t)+f_2(t)$ 时，输出为 $\sin(t+3)(f_1(t)+f_2(t)) = y_1(t)+y_2(t)$。满足可加性。
    • 检查齐次性: 输入 $af(t)$ 时，输出为 $\sin(t+3)(af(t)) = a[\sin(t+3)f(t)] = ay(t)$。满足齐次性。
    • 结论: 线性。
  • 时不变?
    • 令输入为 $f_d(t) = f(t-t_0)$。输出为 $y_d(t) = \sin(t+3)f_d(t) = \sin(t+3)f(t-t_0)$。
    • 原输出的时移为 $y(t-t_0) = \sin((t-t_0)+3)f(t-t_0)$。
    • 因为 $\sin(t+3) \neq \sin(t-t_0+3)$ (除非 $t_0=0$)，所以 $y_d(t) \neq y(t-t_0)$。
    • 结论: 时变 (Time-varying)。
  • 因果?
    • 输出 $y(t)$ 在时刻 $t$ 的值仅取决于输入 $f(t)$ 在同一时刻 $t$ 的值，没有用到未来的输入。
    • 结论: 因果。
  • BIBO 稳定?
    • 假设输入有界 $ f(t) \le M_f$。
    • 输出 $ y(t) = \sin(t+3)f(t) = \sin(t+3)   f(t) $。
    • 因为 $ \sin(t+3) \le 1$，所以 $ y(t) \le 1 \cdot M_f = M_f$。
    • 输出也是有界的。
    • 结论: BIBO 稳定。
  • 总结: 该系统是线性、时变、因果、BIBO 稳定的。它不是 LTIC 系统，因为它是时变的。

示例 6: $y(t) = f((t - 1)^2)$

  • 线性?
    • 可加性: 输入 $f_1+f_2$，输出 $(f_1+f_2)((t-1)^2) = f_1((t-1)^2) + f_2((t-1)^2) = y_1(t)+y_2(t)$。满足。
    • 齐次性: 输入 $af$，输出 $(af)((t-1)^2) = a f((t-1)^2) = ay(t)$。满足。
    • 结论: 线性。
  • 时不变?
    • 令输入为 $f_d(t) = f(t-t_0)$。输出为 $y_d(t) = f_d((t-1)^2) = f((t-1)^2 - t_0)$。
    • 原输出的时移为 $y(t-t_0) = f(((t-t_0) - 1)^2)$。
    • 显然 $f((t-1)^2 - t_0) \neq f(((t-t_0) - 1)^2)$。
    • 结论: 时变。
  • 因果?
    • 输出 $y(t)$ 取决于输入在时刻 $\tau = (t-1)^2$ 的值。
    • 考虑 $t=0$ 时，$\tau = (-1)^2 = 1$。输出 $y(0) = f(1)$，依赖于未来时刻 $t=1$ 的输入。
    • 考虑 $t=2$ 时，$\tau = (2-1)^2 = 1$。输出 $y(2) = f(1)$，依赖于过去时刻 $t=1$ 的输入。
    • 因为存在时刻 ($t=0$) 的输出依赖于未来输入 ($t=1$)，所以系统非因果。
    • 结论: 非因果。
  • BIBO 稳定?
    • 假设输入有界 $ f(t) \le M_f$。
    • 输出 $y(t) = f((t-1)^2)$。由于 $(t-1)^2$ 可以取遍所有非负值，而 $f$ 在这些非负时刻的值都是有界的 ($ f(\tau) \le M_f$ for $\tau \ge 0$)。
    • 所以 $ y(t) = f((t-1)^2) \le M_f$。
    • 结论: BIBO 稳定 (假设输入 $f(t)$ 在整个时间轴都有界)。
  • 总结: 该系统是线性、时变、非因果、BIBO 稳定的。不是 LTIC 系统。

示例 7: $y(t) = f^2(t)$

  • 线性?
    • 齐次性: 输入 $af(t)$，输出 $(af(t))^2 = a^2 f^2(t) = a^2 y(t) \neq ay(t)$ (除非 $a=0$ 或 $a=1$)。
    • 结论: 非线性。
  • 时不变?
    • 令输入为 $f_d(t) = f(t-t_0)$。输出为 $y_d(t) = (f_d(t))^2 = (f(t-t_0))^2$。
    • 原输出的时移为 $y(t-t_0) = (f(t-t_0))^2$。
    • $y_d(t) = y(t-t_0)$。
    • 结论: 时不变。
  • 因果?
    • 输出 $y(t)$ 仅取决于当前输入 $f(t)$。
    • 结论: 因果。
  • BIBO 稳定?
    • 假设输入有界 $ f(t) \le M_f$。
    • 输出 $ y(t) = f^2(t) = f(t) ^2 \le M_f^2$。输出也是有界的 ($M_y = M_f^2$)。
    • 结论: BIBO 稳定。
  • 总结: 该系统是非线性、时不变、因果、BIBO 稳定的。不是 LTIC 系统 (因为非线性)。

示例 8: $y(t) = f(t) * u(t - 1)$

  • 这是一个卷积形式 $y(t) = f(t) * h(t)$，其中 $h(t) = u(t-1)$。
  • 线性?
    • 卷积是线性运算。
    • 结论: 线性。
  • 时不变?
    • 卷积定义的系统总是时不变的 (只要 $h(t)$ 不随时间变化)。
    • 结论: 时不变。
  • 因果?
    • 我们需要检查冲激响应 $h(t) = u(t-1)$ 是否满足 $h(t)=0$ for $t<0$。
    • $u(t-1)$ 在 $t < 1$ 时为 0，因此在 $t < 0$ 时也为 0。
    • 结论: 因果。
  • BIBO 稳定?
    • 我们需要检查 $h(t) = u(t-1)$ 是否绝对可积。
    • $\int_{-\infty}^{\infty} h(t) dt = \int_{-\infty}^{\infty} u(t-1) dt = \int_{1}^{\infty} 1 dt$。
    • 这个积分发散到无穷大。
    • 结论: 非 BIBO 稳定。
  • 总结: 该系统是线性、时不变、因果的，但不是 BIBO 稳定的。它是 LTIC 系统 (因为它满足 L, T, C)，只是不稳定。