Impulse Response, Stability, Causality, and LTIC Systems

#ECE210

卷积 (Convolution) 与冲激响应 (Impulse Response) $h(t)$

冲激响应的定义

• 对于一个线性时不变 (Linear Time-Invariant, LTI) 系统，如果在频域中输入信号的傅里叶变换 $F(\omega )$ 和系统的频率响应 $H(\omega )$ 都存在，那么输出信号的傅里叶变换是 $Y(\omega )=F(\omega )H(\omega )$ 。
• 但是，如果 $F(\omega )$ 或 $H(\omega )$ 不存在，频域方法就不适用了。这时，我们在时域中使用卷积来描述系统的行为：输出信号 $y(t)$ 等于输入信号 $f(t)$ 与系统的冲激响应 $h(t)$ 的卷积。 $$y(t)=f(t)\ast h(t)$$ 这个时域卷积方法总是适用的，只要积分收敛。
• 那么，如果我们不知道一个 LTI 系统的冲激响应 $h(t)$，该如何获取呢？
• 我们可以通过给系统施加一个单位冲激信号 (Unit Impulse Signal) $\delta (t)$ 作为输入，此时系统的输出就是其冲激响应 $h(t)$。 $$y(t)=\delta (t)\ast h(t)=h(t)$$ 因此，$h(t)$ 被定义为 LTI 系统对单位冲激输入 $\delta (t)$ 的零状态响应 (Zero-State Response)。

冲激响应与单位阶跃响应 (Unit-Step Response)

• 如果 LTI 系统的输入是单位阶跃信号 (Unit-Step Signal) $u(t)$，那么输出 $y(t)$ 被称为单位阶跃响应 (Unit-Step Response)，通常也用 $g(t)$ 表示。这个响应等于 $u(t)$ 与 $h(t)$ 的卷积： $$y(t)=g(t)=u(t)\ast h(t)$$
• 我们知道冲激函数 $\delta (t)$ 是阶跃函数 $u(t)$ 的导数 ($\delta (t)=\frac{d}{dt}u(t)$)。利用卷积的性质，我们可以得到冲激响应 $h(t)$ 是单位阶跃响应 $g(t)$ 的导数： $$h(t)=\frac{d}{dt}g(t)$$ 单位阶跃相应求导即为单位冲激相应

示例 1

• 给定 LTI 系统的单位阶跃响应为 $y(t)=g(t)=\frac{1}{3}(1-e^{-3t})u(t)$ [Slide 5]。
• 求冲激响应 $h(t)$。
• 解: 我们对 $g(t)$ 求导得到 $h(t)$： $$h(t)=\frac{d}{dt}[\frac{1}{3}(1-e^{-3t})u(t)]$$ 使用链式法则和乘积法则： $$h(t)=\frac{1}{3}\frac{d}{dt}(1-e^{-3t})\cdot u(t)+\frac{1}{3}(1-e^{-3t})\cdot \frac{d}{dt}u(t)$$ $$h(t)=\frac{1}{3}(0-(-3)e^{-3t})u(t)+\frac{1}{3}(1-e^{-3t})\delta (t)$$ $$h(t)=e^{-3t}u(t)+\frac{1}{3}(1-e^{-3(0)})\delta (t)(\text{因为 }f(t)\delta (t)=f(0)\delta (t))$$ $$h(t)=e^{-3t}u(t)+\frac{1}{3}(1-1)\delta (t)$$ $$h(t)=e^{-3t}u(t)$$ 所以，该系统的冲激响应是 $h(t)=e^{-3t}u(t)$。

示例 2

• 给定 LTI 系统的单位阶跃响应为 $y(t)=g(t)=e^{-t}u(t)$。
• 求冲激响应 $h(t)$。
• 解: 同样对 $g(t)$ 求导： $$h(t)=\frac{d}{dt}[e^{-t}u(t)]$$ $$h(t)=(\frac{d}{dt}{e}^{-t})u(t)+e^{-t}(\frac{d}{dt}u(t))$$ $$h(t)=-e^{-t}u(t)+e^{-t}\delta (t)$$ $$h(t)=-e^{-t}u(t)+e^{-0}\delta (t)(\text{因为 }f(t)\delta (t)=f(0)\delta (t))$$ $$h(t)=-e^{-t}u(t)+\delta (t)$$ 所以，该系统的冲激响应是 $h(t)=\delta (t)-e^{-t}u(t)$。

有界输入有界输出稳定性 (Bounded Input-Bounded Output, BIBO Stability)

BIBO 稳定性的定义

• 考虑一个系统，输入为 $f(t)$，输出为 $y(t)$。

• 如果对于任何有界的输入信号 $f(t)$ (即存在一个常数 $M_f<\mathrm{\infty }$ 使得 $

  f(t)

  \le M_f$\mathrm{对}\mathrm{所}\mathrm{有}$t$\mathrm{成}\mathrm{立})，\mathrm{系}\mathrm{统}\mathrm{的}\mathrm{输}\mathrm{出}\mathrm{信}\mathrm{号}$y(t)$\mathrm{也}\mathrm{总}\mathrm{是}\mathrm{有}\mathrm{界}\mathrm{的}(\mathrm{即}\mathrm{存}\mathrm{在}\mathrm{一}\mathrm{个}\mathrm{常}\mathrm{数}$M_y < \infty$\mathrm{使}\mathrm{得}$

  y(t)

  \le M_y$\mathrm{对}\mathrm{所}\mathrm{有}$t$ 成立)，那么这个系统就称为 BIBO 稳定系统。

LTI 系统的 BIBO 稳定性条件

• 对于 LTI 系统，判断其是否 BIBO 稳定有一个明确的充要条件：当且仅当其冲激响应 $h(t)$ 是绝对可积 (Absolutely Integrable) 的 。 $${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}|h(t)|dt<\mathrm{\infty }$$ 这意味着冲激响应 $h(t)$ 的绝对值在整个时间轴上的积分必须是一个有限值。

示例 3

• 判断下列冲激响应对应的 LTI 系统是否 BIBO 稳定：
  1. $h(t)=\sin ({\omega }_{0}t)$

     • 计算积分: $\int_{-\infty}^{\infty}

       \sin(\omega_0 t)

       dt$。\mathrm{这}\mathrm{个}\mathrm{积}\mathrm{分}\mathrm{显}\mathrm{然}\mathrm{是}\mathrm{发}\mathrm{散}\mathrm{的}(\mathrm{无}\mathrm{穷}\mathrm{大})，\mathrm{因}\mathrm{为}$

       \sin(\omega_0 t)

       $ 是一个周期函数，在一个周期内的积分大于零，在无限区间上积分会累积到无穷。

     • 结论: 系统不稳定。
  2. $h(t)=\sin ({\omega }_{0}t)\text{rect}(t)$
     • $\text{rect}(t)$ 函数在 $[-1/2,1/2]$ 区间为 1，其他地方为 0。所以 $h(t)$ 只在 $t\in [-1/2,1/2]$ 时不为零。

     • 计算积分: $\int_{-\infty}^{\infty}

       \sin(\omega_0 t) \text{rect}(t)

       dt = \int_{-1/2}^{1/2}

       \sin(\omega_0 t)

       dt$。\mathrm{由}\mathrm{于}$\sin(\omega_0 t)$\mathrm{在}\mathrm{有}\mathrm{限}\mathrm{区}\mathrm{间}$[-1/2, 1/2]$ 上是有界的，其绝对值在该有限区间上的积分必然是一个有限值。

     • 结论: 系统 BIBO 稳定。
  3. $h(t)=\text{sinc}({\omega }_{0}t)=\frac{\sin ({\omega }_{0}t)}{{\omega }_{0}t}$

     • 计算积分: $\int_{-\infty}^{\infty}

       \text{sinc}(\omega_0 t)

       dt = \int_{-\infty}^{\infty} \left

       \frac{\sin(\omega_0 t)}{\omega_0 t}\right

       dt$。这个积分是发散的 (类似于 $\int

       1/t

       dt$)。\mathrm{虽}\mathrm{然}$\int_{-\infty}^{\infty} \text{sinc}(\omega_0 t) dt$(\mathrm{没}\mathrm{有}\mathrm{绝}\mathrm{对}\mathrm{值})\mathrm{是}\mathrm{收}\mathrm{敛}\mathrm{的}(\mathrm{等}\mathrm{于}$\pi/

       \omega_0

       $，\mathrm{如}\mathrm{果}$\omega_0 \neq 0$)，但绝对值的积分是发散的。

     • 结论: 系统不稳定。

  4. $h(t) = \sin(\omega_0 t) e^{-

     t

     }$

     • 计算积分: $\int_{-\infty}^{\infty}

       \sin(\omega_0 t) e^{-

       t

       }

       dt \le \int_{-\infty}^{\infty}

       e^{-

       t

       }

       dt$(\mathrm{因}\mathrm{为}$

       \sin(\omega_0 t)

       \le 1$)。

     • $\int_{-\infty}^{\infty} e^{-

       t

       } dt = 2 \int_{0}^{\infty} e^{-t} dt = 2 [-e^{-t}]_0^\infty = 2 (0 - (-1)) = 2$。

     • 由于 $\int_{-\infty}^{\infty}

       h(t)

       dt$ 小于等于一个有限值 (2)，所以它本身也是有限的。

     • 结论: 系统 BIBO 稳定。
  5. $h(t)=\delta (t-1)$

     • 计算积分: $\int_{-\infty}^{\infty}

       \delta(t - 1)

       dt = 1$。\mathrm{根}\mathrm{据}$\delta$ 函数的性质，其积分为 1。

     • 结论: 系统 BIBO 稳定。

因果性 (Causality)

因果性的定义

• 一个系统被称为因果系统 (Causal System)，如果其在任意时刻 $t$ 的输出 $y(t)$ 仅取决于当前时刻及过去时刻的输入 $f(\tau )$ (即 $\tau \le t$)，而不依赖于未来时刻的输入 $f(\tau )$ (即 $\tau >t$)。
• 如果系统的输出依赖于未来的输入，则该系统称为非因果系统 (Non-causal System)。非因果系统在物理上是不可实现的 (Unrealizable)，因为我们无法预知未来。例如，一个系统不可能在输入施加之前就产生输出。

LTI 系统的因果性条件

• 对于 LTI 系统，其因果性的充要条件是：当且仅当其冲激响应 $h(t)$ 在 $t<0$ 时恒等于 0 $$h(t)=0\text{for all }t<0$$ 这意味着冲激响应函数不能在时间 $t=0$ (即施加冲激输入的时刻) 之前有任何非零值。

示例 4 (来自 Slides)

• 判断下列冲激响应对应的 LTI 系统是否是因果系统：
  1. $h(t)=\text{sinc}({\omega }_{0}t)=\frac{\sin ({\omega }_{0}t)}{{\omega }_{0}t}$
     • $\text{sinc}$ 函数在 $t<0$ 时不为零 (例如 $t=-\pi /(2{\omega }_0)$ 时)。
     • 结论: 系统非因果。
  2. $h(t)=u(t)$
     • 单位阶跃函数 $u(t)$ 在 $t<0$ 时等于 0。
     • 结论: 系统因果。
  3. $h(t)=e^{-t}$
     • 指数函数 $e^{-t}$ 在 $t<0$ 时不为零 (例如 $t=-1$ 时 $h(-1)=e^1\ne 0$)。
     • 结论: 系统非因果。
  4. $h(t)=e^{-t}u(t-1)$
     • $u(t-1)$ 函数在 $t<1$ 时为 0。因此 $h(t)$ 在 $t<1$ 时都为 0，自然也满足在 $t<0$ 时为 0。
     • 结论: 系统因果。
  5. $h(t)=\delta (t)$
     • $\delta (t)$ 函数仅在 $t=0$ 时非零，在 $t<0$ 时等于 0。
     • 结论: 系统因果。
• 注意: 教材 Example 10.13 中给出的系统 $h(t)=\delta (t+1/2)-\delta (t-1/2)$ 是非因果的，因为它在 $t=-1/2$ (即 $t<0$) 时有响应。其输出 $y(t)=f(t+1/2)-f(t-1/2)$ 依赖于未来的输入 $f(t+1/2)$ 。教材 Example 10.14 中给出的 $h(t)=\delta (t)+u(t+1)$ 也是非因果的，因为 $u(t+1)$ 在 $-1\le t<0$ 时不为零。

线性时不变因果系统 (Linear Time-Invariant Causal, LTIC Systems)

• 一个系统如果同时满足线性 (Linear)、时不变 (Time-invariant) 和 因果 (Causal) 这三个特性，就被称为 LTIC 系统。
• 因此，LTIC 系统是 LTI 系统的一个子集，它额外满足因果性条件，即 $h(t)=0$ for $t<0$ 。
• 一个信号 $f(t)$ 如果可以作为某个 LTIC 系统的冲激响应，那么这个信号本身也被称为因果信号 (Causal Signal)，即它满足 $f(t)=0$ for $t<0$ 。

系统性质的综合判断 (示例 5-8)

Slides 中的 Example 5 到 8 要求判断给定输入输出关系的系统是否是线性、时不变、BIBO 稳定和/或因果的。这需要回顾线性、时不变的定义，并结合我们刚讨论的 BIBO 稳定性和因果性概念。

示例 5: $y(t)=\sin (t+3)f(t)$

• 线性?
  • 检查可加性: $y_1(t)=\sin (t+3)f_1(t)$, $y_2(t)=\sin (t+3)f_2(t)$。输入 $f_1(t)+f_2(t)$ 时，输出为 $\sin (t+3)(f_1(t)+f_2(t))=y_1(t)+y_2(t)$。满足可加性。
  • 检查齐次性: 输入 $af(t)$ 时，输出为 $\sin (t+3)(af(t))=a[\sin (t+3)f(t)]=ay(t)$。满足齐次性。
  • 结论: 线性。
• 时不变?
  • 令输入为 $f_d(t)=f(t-t_0)$。输出为 $y_d(t)=\sin (t+3)f_d(t)=\sin (t+3)f(t-t_0)$。
  • 原输出的时移为 $y(t-t_0)=\sin ((t-t_0)+3)f(t-t_0)$。
  • 因为 $\sin (t+3)\ne \sin (t-t_0+3)$ (除非 $t_0=0$)，所以 $y_d(t)\ne y(t-t_0)$。
  • 结论: 时变 (Time-varying)。
• 因果?
  • 输出 $y(t)$ 在时刻 $t$ 的值仅取决于输入 $f(t)$ 在同一时刻 $t$ 的值，没有用到未来的输入。
  • 结论: 因果。
• BIBO 稳定?

  • 假设输入有界 $

    f(t)

    \le M_f$。

  • 输出 $

    y(t)

    =

    \sin(t+3)f(t)

    =

    \sin(t+3)

    f(t)

    $。

  • 因为 $

    \sin(t+3)

    \le 1$，\mathrm{所}\mathrm{以}$

    y(t)

    \le 1 \cdot M_f = M_f$。

  • 输出也是有界的。
  • 结论: BIBO 稳定。
• 总结: 该系统是线性、时变、因果、BIBO 稳定的。它不是 LTIC 系统，因为它是时变的。

示例 6: $y(t)=f((t-1{)}^2)$

• 线性?
  • 可加性: 输入 $f_1+f_2$，输出 $(f_1+f_2)((t-1{)}^2)=f_1((t-1{)}^2)+f_2((t-1{)}^2)=y_1(t)+y_2(t)$。满足。
  • 齐次性: 输入 $af$，输出 $(af)((t-1{)}^2)=af((t-1{)}^2)=ay(t)$。满足。
  • 结论: 线性。
• 时不变?
  • 令输入为 $f_d(t)=f(t-t_0)$。输出为 $y_d(t)=f_d((t-1{)}^2)=f((t-1{)}^2-t_0)$。
  • 原输出的时移为 $y(t-t_0)=f(((t-t_0)-1{)}^2)$。
  • 显然 $f((t-1{)}^2-t_0)\ne f(((t-t_0)-1{)}^2)$。
  • 结论: 时变。
• 因果?
  • 输出 $y(t)$ 取决于输入在时刻 $\tau =(t-1{)}^2$ 的值。
  • 考虑 $t=0$ 时，$\tau =(-1{)}^2=1$。输出 $y(0)=f(1)$，依赖于未来时刻 $t=1$ 的输入。
  • 考虑 $t=2$ 时，$\tau =(2-1{)}^2=1$。输出 $y(2)=f(1)$，依赖于过去时刻 $t=1$ 的输入。
  • 因为存在时刻 ($t=0$) 的输出依赖于未来输入 ($t=1$)，所以系统非因果。
  • 结论: 非因果。
• BIBO 稳定?

  • 假设输入有界 $

    f(t)

    \le M_f$。

  • 输出 $y(t)=f((t-1{)}^2)$。由于 $(t-1{)}^2$ 可以取遍所有非负值，而 $f$ 在这些非负时刻的值都是有界的 ($

    f(\tau)

    \le M_f$for$\tau \ge 0$)。

  • 所以 $

    y(t)

    =

    f((t-1)^2)

    \le M_f$。

  • 结论: BIBO 稳定 (假设输入 $f(t)$ 在整个时间轴都有界)。
• 总结: 该系统是线性、时变、非因果、BIBO 稳定的。不是 LTIC 系统。

示例 7: $y(t)=f^2(t)$

• 线性?
  • 齐次性: 输入 $af(t)$，输出 $(af(t){)}^2=a^2{f}^2(t)=a^{2}y(t)\ne ay(t)$ (除非 $a=0$ 或 $a=1$)。
  • 结论: 非线性。
• 时不变?
  • 令输入为 $f_d(t)=f(t-t_0)$。输出为 $y_d(t)=(f_d(t){)}^2=(f(t-t_0){)}^2$。
  • 原输出的时移为 $y(t-t_0)=(f(t-t_0){)}^2$。
  • $y_d(t)=y(t-t_0)$。
  • 结论: 时不变。
• 因果?
  • 输出 $y(t)$ 仅取决于当前输入 $f(t)$。
  • 结论: 因果。
• BIBO 稳定?

  • 假设输入有界 $

    f(t)

    \le M_f$。

  • 输出 $

    y(t)

    =

    f^2(t)

    =

    f(t)

    ^2 \le M_f^2$。\mathrm{输}\mathrm{出}\mathrm{也}\mathrm{是}\mathrm{有}\mathrm{界}\mathrm{的}($M_y = M_f^2$)。

  • 结论: BIBO 稳定。
• 总结: 该系统是非线性、时不变、因果、BIBO 稳定的。不是 LTIC 系统 (因为非线性)。

示例 8: $y(t)=f(t)\ast u(t-1)$

• 这是一个卷积形式 $y(t)=f(t)\ast h(t)$，其中 $h(t)=u(t-1)$。
• 线性?
  • 卷积是线性运算。
  • 结论: 线性。
• 时不变?
  • 卷积定义的系统总是时不变的 (只要 $h(t)$ 不随时间变化)。
  • 结论: 时不变。
• 因果?
  • 我们需要检查冲激响应 $h(t)=u(t-1)$ 是否满足 $h(t)=0$ for $t<0$。
  • $u(t-1)$ 在 $t<1$ 时为 0，因此在 $t<0$ 时也为 0。
  • 结论: 因果。
• BIBO 稳定?
  • 我们需要检查 $h(t)=u(t-1)$ 是否绝对可积。

  • $\int_{-\infty}^{\infty}

    h(t)

    dt = \int_{-\infty}^{\infty}

    u(t-1)

    dt = \int_{1}^{\infty} 1 dt$。

  • 这个积分发散到无穷大。
  • 结论: 非 BIBO 稳定。
• 总结: 该系统是线性、时不变、因果的，但不是 BIBO 稳定的。它是 LTIC 系统 (因为它满足 L, T, C)，只是不稳定。