Fourier Transform and LTI System Response to Energy Signals

#ECE210

傅里叶变换对 $f(t) \leftrightarrow F(\omega)$ 及其性质 (Fourier Transform Pairs and Their Properties)

傅里叶变换 (Fourier Transform) 与反变换 (Inverse Fourier Transform)

• 傅里叶变换 (FT): 将一个时域信号 $f(t)$ 转换到频域表示 $F(\omega)$。它告诉我们信号由哪些频率的正弦/余弦波组成，以及各个频率分量的幅度和相位。 公式定义为: $$ F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-j\omega t} dt $$ 其中 $\omega$ 是角频率 (rad/s)， $F(\omega)$ 通常是一个复数函数，包含了幅度和相位信息。

• 傅里叶反变换 (IFT): 将频域表示 $F(\omega)$ 转换回时域信号 $f(t)$。 公式定义为: $$ f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega)e^{j\omega t} d\omega $$

• 变换对表示: 我们常用 $f(t) \leftrightarrow F(\omega)$ 来表示 $f(t)$ 和 $F(\omega)$ 构成一个傅里叶变换对。

存在条件 (Existence Conditions)

• 傅里叶变换存在的充分条件是信号 $f(t)$ 绝对可积 (Absolutely Integrable, A.I.)，即： $$ \int_{-\infty}^{\infty} |f(t)| dt < \infty $$ 这保证了定义 $F(\omega)$ 的积分收敛。

• 技术比喻: 这就像问一个信号的总“震动量”是不是有限的。如果无限时间内的总震动量是有限的，我们就能很好地分析它的频率构成。满足 $

  f(t)

  $ 绝对可积的信号称为能量信号

• 需要注意的是，即使某些信号不满足绝对可积条件 (例如 $sinc(t)$ 函数，或者理想的 $cos(\omega_0 t)$)，它们在特定条件下 (如满足狄利克雷条件 Dirichlet conditions) 可能仍然存在傅里叶变换，或者可以通过广义函数 (如狄拉克 δ 函数) 来表示其变换 [^3]。

重要性质 (Properties)

傅里叶变换具有许多重要的性质，这些性质极大地简化了信号与系统分析：

• 线性 (Linearity): $a f(t) + b g(t) \leftrightarrow a F(\omega) + b G(\omega)$ 。
  • 说明: 系统的响应等于各个输入信号独立产生的响应之和。这就像混音，总音效是各个乐器声音的叠加。
• 幅度缩放 (Amplitude Scaling): $K f(t) \leftrightarrow K F(\omega)$ 。
  • 说明: 信号在时域整体放大 K 倍，其频谱也在频域整体放大 K 倍。

• 时间缩放 (Time Scaling): 对于实数 $a$: $f(at) \leftrightarrow \frac{1}{

  a

  } F(\frac{\omega}{a})$

  • 说明:

    • 当 $

      a

      1$ 时，信号在时域被压缩 (变窄)，其频谱在频域被扩展 (变宽)。

    • 当 $0 <

      a

      < 1$ 时，信号在时域被扩展 (变宽)，其频谱在频域被压缩 (变窄)。

    • 当 $a < 0$ 时，信号在时域还会反转。
  • 技术比喻: 这就像播放磁带。快速播放 ($a>1$) 时，声音持续时间变短，但音调 (频率) 变高 (频谱展宽)；慢速播放 ($a<1$) 则相反。时域宽度和频域宽度之间存在 反比关系 。
• 时间平移 (Time Shifting): $f(t-t_0) \leftrightarrow e^{-j\omega t_0} F(\omega)$。

  • 说明: 信号在时域平移 $t_0$，其傅里叶变换的幅度 $

    F(\omega)

    $ 不变，但会引入一个线性相移 $- \omega t_0$。

  • 技术比喻: 这就像声音信号的延迟播放。声音内容 (频率成分) 没变，只是到达的时间晚了，这体现在频域的相位变化上。
• 对称性/对偶性 (Symmetry/Duality): 若 $f(t) \leftrightarrow F(\omega)$，则 $F(t) \leftrightarrow 2\pi f(-\omega)$ 。
  • 说明: 时域函数和频域函数的形式可以互换 (经过适当缩放和反转)。这个性质很有用，可以从已知的变换对推导出新的变换对 (例如 Slide 19 的例子)。
• 厄米特性 (Hermitian Property): 如果 $f(t)$ 是实数信号，则 $F(-\omega) = F^(\omega)$ (其中 $$ 表示复共轭)。

  • 说明: 这意味着对于实信号，$

    F(\omega)

    $ 是偶函数 (关于 $\omega=0$ 对称)，而相位 $\angle F(\omega)$ 是奇函数。

• 实偶/奇信号性质 (Real Even/Odd Signals):
  • 如果 $f(t)$ 是实偶函数 (Real and Even)，则 $F(\omega)$ 也是实偶函数。
  • 如果 $f(t)$ 是实奇函数 (Real and Odd)，则 $F(\omega)$ 是纯虚奇函数。

常见变换对举例

、

注意： $\mathrm{rect}(x)$ 是矩形函数， $\Delta(x)$ 是三角形函数， $\mathrm{sinc}(x) = \sin(x)/x$ 是 Sinc 函数。

信号的频域描述 (Frequency-Domain Description of Signals)

这一部分关注如何从频域角度描述信号的能量特性。

信号能量 (Signal Energy) 与帕塞瓦尔定理 (Parseval’s Theorem)

• 能量信号 (Energy Signal): 指总能量有限，平均功率为零的信号。我们主要讨论这类信号的傅里叶变换。
• 信号能量 (W): 一个信号 $f(t)$ 的总能量定义为: $$ W = \int_{-\infty}^{\infty} |f(t)|^2 dt $$
• 帕塞瓦尔定理 (Parseval’s Theorem): 该定理建立了信号的时域能量与频域能量之间的关系 : $$ W = \int_{-\infty}^{\infty} |f(t)|^2 dt = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} |F(\omega)|^2 d\omega $$

• 能量谱密度 (Energy Spectral Density, ESD): $

  F(\omega)

  ^2$ 被称为信号的能量谱密度。它描述了信号能量在不同频率上的分布情况。单位频率间隔内的能量由 $\frac{1}{2\pi}

  F(\omega)

  ^2$ 给出。

• 技术比喻: 帕塞瓦尔定理就像能量守恒。无论你是在时间维度上测量信号的总能量 (所有时刻能量的总和)，还是在频率维度上测量 (所有频率分量能量的总和)，得到的总能量是相同的。能量谱密度 $

  F(\omega)

  ^2$ 则告诉你，在不同的频率 “频道” 上，信号携带了多少能量。

分贝与Bandwidth

分贝

1. 定义与目的

分贝 (dB) 本身不是一个单位，而是一个无量纲的对数标度 (logarithmic scale)，用于表示两个物理量之间的比率 (ratio)。它最常用于表示功率 (power)、强度 (intensity) 或幅度 (amplitude) 的相对大小。

使用对数标度的主要原因有：

1. 压缩大范围数值: 信号的功率或幅度可能变化非常大（跨越多个数量级），使用对数可以将其压缩到一个更易于处理和表示的范围。
2. 简化计算: 级联系统 (cascaded systems) 的总增益 (gain) 或衰减 (attenuation) 计算，在对数域中可以将乘法/除法转换为加法/减法。
3. 匹配人类感知: 人类对声音响度或光线亮度的感知本身就接近于对数关系。

2. 计算公式

dB 的计算取决于所比较的物理量是功率量还是场量（如电压、电流、声压）。

1. 功率比 (Power Ratio): 当比较两个功率 $P_1$ 和 $P_0$ 时，其 dB 值为： $$ dB = 10 \log_{10} \left( \frac{P_1}{P_0} \right) $$ 这里的 $P_0$ 是参考功率 (reference power)。

2. 幅度/电压比 (Amplitude/Voltage Ratio): 当比较两个幅度量（如电压 $V_1$ 和 $V_0$，或电流 $I_1$ 和 $I_0$）时，假设阻抗 (impedance) 不变，功率与幅度的平方成正比 ($P \propto V^2$)。因此，dB 值为： $$ dB = 10 \log_{10} \left( \frac{P_1}{P_0} \right) = 10 \log_{10} \left( \frac{V_1^2 / R}{V_0^2 / R} \right) = 10 \log_{10} \left( \left( \frac{V_1}{V_0} \right)^2 \right) = 20 \log_{10} \left( \frac{V_1}{V_0} \right) $$ 这里的 $V_0$ 是参考电压 (reference voltage)。

3. 参考值 (Reference Value)

使用 dB 时必须有一个参考值 ($P_0$ 或 $V_0$)。这个参考值可以是：

• 标准参考值: 如 dBm (参考 1 毫瓦, 1mW)，dBW (参考 1 瓦, 1W)，dBV (参考 1 伏特, 1V)，dBu (参考 0.775 伏特)。
• 相对参考值: 比如信号的最大值、系统的输入值、噪声基底等。在滤波器或系统频率响应中，通常将最大响应（例如通带中心）作为 0 dB 参考点。

4. 常见 dB 值解读

• 0 dB: 表示信号值等于参考值 ($P_1 = P_0$ 或 $V_1 = V_0$)。
• +3 dB: 表示功率大约变为原来的 2 倍 ($10 \log_{10}(2) \approx 3.01$)。幅度大约变为原来的 $\sqrt{2} \approx 1.414$ 倍 ($20 \log_{10}(\sqrt{2}) \approx 3.01$)。
• -3 dB: 表示功率大约变为原来的 1/2 倍 ($10 \log_{10}(1/2) \approx -3.01$)。幅度大约变为原来的 $1/\sqrt{2} \approx 0.707$ 倍 ($20 \log_{10}(1/\sqrt{2}) \approx -3.01$)。这个值在带宽定义中特别重要。
• +10 dB: 表示功率变为原来的 10 倍。
• -10 dB: 表示功率变为原来的 1/10 倍。
• +20 dB: 表示功率变为原来的 100 倍，幅度变为原来的 10 倍。
• -20 dB: 表示功率变为原来的 1/100 倍，幅度变为原来的 1/10 倍。

5. 在傅里叶变换和频谱中的应用

在课程幻灯片中，dB 被用来定义带宽。具体来说，-3dB 点是指信号的能量谱密度 (Energy Spectral Density, ESD) $|F(\omega)|^2$ 下降到其最大值（通常是 $|F(0)|^2$）一半的位置。 $$ 10 \log_{10} \left( \frac{|F(\omega_{3dB})|^2}{|F(0)|^2} \right) = -3 \text{ dB} $$ 这等价于： $$ \frac{|F(\omega_{3dB})|^2}{|F(0)|^2} = 10^{-3/10} \approx \frac{1}{2} $$ 因为 $|F(\omega)|^2$ 代表能量（类似于功率），所以使用 $10 \log_{10}$ 的形式。

带宽 (Bandwidth, BW)

1. 定义与目的

带宽是衡量信号在频域中占据的频率范围或系统能够有效处理的频率范围的指标。它量化了信号频谱的“宽度”或系统频率响应的“宽度”。带宽是通信、信号处理和系统设计中的一个核心概念。

带宽的大小影响：

• 信息传输速率 (Data Rate)
• 信号对噪声和干扰的敏感度
• 系统设计的复杂性和成本

2. 带宽的种类/定义

带宽没有唯一的、普遍适用的定义。具体使用哪种定义取决于应用场景和分析目的。以下是一些常见的带宽定义：

1. 绝对带宽 (Absolute Bandwidth): 信号频谱严格不为零的整个频率范围。对于许多理论信号（如理想矩形脉冲的 sinc 频谱），绝对带宽是无限的，因此在实际中不常用。

2. 3dB 带宽 (3dB Bandwidth) 或 半功率带宽 (Half-Power Bandwidth): 这是最常用的带宽定义，尤其是在滤波器和放大器设计中。它指的是信号的功率谱或能量谱密度下降到其峰值一半 (-3dB) 的频率范围。

   • 对于低通信号 (Low-Pass Signal): 带宽通常指从 0 Hz (DC) 到功率谱密度下降为峰值一半的正频率 $\omega_{3dB}$ (或 $f_{3dB}$)。即 $BW = \omega_{3dB}$ (或 $f_{3dB}$) 。此时 $

     F(\omega_{3dB})

     ^2 = \frac{1}{2}

     F(peak)

     ^2$，通常 $

     F(peak)

     ^2 =

     F(0)

     ^2$。等效地，幅度谱 $

     F(\omega)

     $ 下降到峰值的 $1/\sqrt{2}$ (约 0.707)。

   • 对于带通信号 (Band-Pass Signal): 带宽指功率谱密度下降到峰值一半的上边频 (upper cutoff frequency) $\omega_H$ 与下边频 (lower cutoff frequency) $\omega_L$ 之差。即 $BW = \omega_H - \omega_L$ 。此时 $

     F(\omega_H)

     ^2 =

     F(\omega_L)

     ^2 = \frac{1}{2}

     F(peak)

     ^2$，其中峰值通常出现在中心频率 $\omega_c$ 附近。

3. r% 能量带宽 (r% Energy Bandwidth): 指包含信号总能量 r%（例如 90%, 99%）的频率范围。计算方式是积分能量谱密度 $|F(\omega)|^2$，找到包含所需能量比例的最小频率范围。
   • 对于低通信号，通常是从 $\omega=0$ 算起的对称区间 $[-\Omega_r, \Omega_r]$ (或只考虑正频率 $[0, \Omega_r]$，此时带宽为 $\Omega_r$)。
   • 对于带通信号，通常是关于中心频率 $\omega_c$ 对称的区间 $[\omega_c - \Omega_r/2, \omega_c + \Omega_r/2]$。 计算公式如所示（针对低通，只考虑正频率）： $$ \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{\Omega_r} |F(\omega)|^2 d\omega = \frac{r}{100} \times \frac{W}{2} $$ 其中 $W$ 是信号总能量 (参考帕塞瓦尔定理)，这里除以 2 是因为只考虑正频率部分 (假设能量谱偶对称)。

能量带宽 (Energy Bandwidth)

能量带宽衡量的是信号能量在频域中集中的程度，即信号的主要频率成分占据了多大的频率范围。

• 概念: 对于低通信号 (能量主要集中在 $\omega=0$ 附近) 或带通信号 (能量集中在某个 $\pm \omega_c$ 附近)，我们可以定义其带宽。
• 技术比喻: 带宽就像一条信息高速公路的宽度。带宽越宽，意味着信号包含的频率范围越广，可能传输的信息速率也越高。
• 常见定义:

  • 3dB 带宽 (3dB Bandwidth): 对于低通信号，指能量谱密度 $

    F(\omega)

    ^2$ 从最大值下降到其一半 (即下降 3dB) 时的正频率 $\omega_{3dB}$ 。对于带通信号，指能量谱密度包络下降到峰值一半时的频率范围宽度。

  • r% 能量带宽 (r% Energy Bandwidth): 指包含信号总能量 r% (例如 99%) 的最小频率范围 $[-\omega_r, \omega_r]$ (对于低通) 或 $[\omega_{c,low}, \omega_{c,high}]$ 及 $[-\omega_{c,high}, -\omega_{c,low}]$ (对于带通)。计算时需要积分能量谱密度，直到达到总能量的 r%。
    • 例如，99% 能量带宽 $\omega_{99\%}$ 满足 (低通情况): $$ \frac{1}{2\pi} \int_{-\omega_{99\%}}^{\omega_{99\%}} |F(\omega)|^2 d\omega = 0.99 \times W = 0.99 \times \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} |F(\omega)|^2 d\omega $$

LTI 电路与系统对能量信号的响应 (LTI Circuit and System Response to Energy Signals)

这一部分应用傅里叶变换来分析 LTI 系统对能量信号输入 $f(t)$ 的输出 $y(t)$。

核心关系: 频域乘积

• 对于一个 LTI 系统，如果其频率响应 (Frequency Response) 为 $H(\omega)$ (这是系统冲激响应 $h(t)$ 的傅里叶变换)，输入信号为 $f(t)$ (其傅里叶变换为 $F(\omega)$)，则输出信号 $y(t)$ 的傅里叶变换 $Y(\omega)$ 为: $$ Y(\omega) = H(\omega) F(\omega) $$
• 说明: 这个公式是 LTI 系统频域分析的核心。它表明，在频域中，LTI 系统的作用是将输入信号的每个频率分量 $F(\omega)$ 乘以系统的频率响应 $H(\omega)$。时域的卷积运算 (Convolution) 在频域变成了简单的乘法运算，这大大简化了分析。
• 技术比喻: $H(\omega)$ 就像一个音频均衡器 (Equalizer)。它对输入声音 $F(\omega)$ 的不同频率成分进行不同的调整 (增强或减弱，并可能引入延迟/相移)。$Y(\omega)$ 就是经过均衡器调整后的声音频谱。

计算输出信号 $y(t)$ 的步骤

要找到 LTI 系统对能量信号输入的时域响应 $y(t)$，通常遵循以下步骤:

1. 计算输入的傅里叶变换: 找到输入信号 $f(t)$ 的傅里叶变换 $F(\omega)$。
2. 频域相乘: 将 $F(\omega)$ 乘以系统的频率响应 $H(\omega)$，得到输出的傅里叶变换 $Y(\omega) = H(\omega) F(\omega)$。
3. 计算输出的傅里叶反变换: 对 $Y(\omega)$ 进行傅里叶反变换，得到时域输出信号 $y(t)$: $$ y(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} Y(\omega) e^{j\omega t} d\omega = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} H(\omega) F(\omega) e^{j\omega t} d\omega $$