Frequency Response of LTI Systems

#ECE210

LTI 系统的频率响应 $H(\omega )$ (The Frequency Response $H(\omega )$ of LTI Systems)

1. 定义: 对于一个 LTI 系统，当输入信号为复指数信号 $f(t)=F{e}^{j\omega t}$ (其中 $F$ 是复数振幅，代表幅度和初始相位) 时，其稳态输出信号同样是同频率的复指数信号，形式为 $y(t)=Y{e}^{j\omega t}$。频率响应 $H(\omega )$ 定义为输出相量 (Phasor) $Y$ 与输入相量 $F$ 的比值，它是一个关于角频率 $\omega$ 的复数函数： $$H(\omega )=\frac{Y}{F}$$ 这个定义是基于相量法的。对于实际的余弦输入信号 $f(t)=|F|\cos (\omega t+\mathrm{\angle }F)=\text{Re}F{e}^{j\omega t}$, 其对应的稳态输出为 $y(t)=|Y|\cos (\omega t+\mathrm{\angle }Y)=\text{Re}Y{e}^{j\omega t}$ 。通过 $Y=H(\omega )F$ 的关系，我们可以得到输出信号的幅度和相位。

2. 计算方法: 1. 电路系统: 将电路转换到相量域 (Phasor Domain)，即： * 电阻 $R$ 的阻抗 (Impedance) 为 $Z_R=R$ * 电感 $L$ 的阻抗为 $Z_L=j\omega L$ * 电容 $C$ 的阻抗为 $Z_C=\frac{1}{j\omega C}$ * 电源 $v(t)$ 或 $i(t)$ 用其相量 $V$ 或 $I$ 表示。 2. 使用电路分析方法 (如节点电压法、网孔电流法、电压/电流 Divider Rule) 计算输出相量 $Y$ (通常是电压或电流相量) 与输入相量 $F$ (通常是源的相量) 的比值，即得到 $H(\omega )$ 。 3. 系统由微分方程描述: $H(\omega )$ 也可以通过系统的常微分方程 (ODE) 得到。

[!tip] Summary

• 可以直接根据电压或者电流的分压分流关系计算得到

3. $H(\omega )$ 的形式: $H(\omega )$ 是一个复数，可以表示为幅度和相位的形式： $$H(\omega )=|H(\omega )|e^{j\mathrm{\angle }H(\omega )}$$ 其中 $|H(\omega )|$ 称为 幅度响应 (Magnitude Response)，$\mathrm{\angle }H(\omega )$ 称为 相位响应 (Phase Response)。

LTI 电路频率响应 $H(\omega )$ 的性质 (Properties of Frequency Response $H(\omega )$ of LTI Circuits)

1. 共轭的性质 核心性质为: $$H(-\omega )=H^{\ast }(\omega )$$ $\omega$ 仅通过电容或电感影响 $H(\omega )$ ，当代入 $-\omega$ 时即为 $H(\omega )$ 的共轭

原因： $H(\omega )$ 与 $\omega$ 仅通过电路中的电容与电感建立关系，所以我们只需分析电路中的电容与电感受到 $\omega$ 的影响

1. 模场关于输入频率为偶函数
2. 辐角关于输入频率为奇函数
3. 对于LTI系统中稳态输入的输出结果

常见的稳态输入如,对于LTI系统中的稳态输入直接乘上Frequency Response即可

• $\sin (\omega t)$ 写成phase form为 $F=-j$
• $\cos (\omega t)$ 写成phase form为 $F=1$

LTI 系统对单频余弦输入的响应 (LTI System Response to Co-Sinusoidal Inputs)

• 这是频率响应最直接的应用。如果 LTI 系统的输入是 $f(t) =	F	\cos(\omega t + \angle F)$，\mathrm{那}\mathrm{么}\mathrm{系}\mathrm{统}\mathrm{的}\mathrm{稳}\mathrm{态}\mathrm{输}\mathrm{出}$y(t)$ 是：
  $$y(t) =	F		H(\omega)	\cos(\omega t + \angle F + \angle H(\omega))$$

• 关键点:
  1. 输出信号仍然是与输入信号相同频率 $\omega$ 的余弦信号。LTI 系统不会产生新的频率。

  2. 输出信号的幅度是输入幅度的 $

     H(\omega)

     $ 倍。

  3. 输出信号的相位是在输入相位的基础上再叠加 $\mathrm{\angle }H(\omega )$。
• 示例 (Slides 中的例子):

  • RC 低通滤波器 (Low-pass Filter) $H(\omega )=\frac{1}{1+j\omega RC}$。$

    H(\omega)

    = \frac{1}{\sqrt{1+(\omega RC)^2}}$\mathrm{在}\mathrm{低}\mathrm{频}\mathrm{时}($\omega \approx 0$)\mathrm{接}\mathrm{近}1，\mathrm{在}\mathrm{高}\mathrm{频}\mathrm{时}($\omega \to \infty$)\mathrm{趋}\mathrm{近}\mathrm{于}0。$\angle H(\omega) = -\arctan(\omega RC)$\mathrm{从}$0$\mathrm{变}\mathrm{化}\mathrm{到}$-\pi/2$。它允许低频信号通过，衰减高频信号。

  • RC 高通滤波器 (High-pass Filter) : $H(\omega )=\frac{j\omega RC}{1+j\omega RC}$。$

    H(\omega)

    = \frac{\omega RC}{\sqrt{1+(\omega RC)^2}}$ 在低频时趋近于 0，在高频时趋近于 1。它允许高频信号通过，衰减低频信号。

  • RLC 带通滤波器 (Band-pass Filter) $H(\omega )=\frac{j\omega C}{1-{\omega }^{2}LC+j\omega RC}$。$

    H(\omega)

    $ 在某个中心频率附近较大，而在低频和高频时都趋近于 0。它允许特定频段的信号通过，衰减其他频率的信号。

LTI 系统对多频输入的响应 (LTI System Response to Multifrequency Inputs)

• 利用 LTI 系统的叠加原理 (Superposition Principle)。
• 如果输入信号是多个不同频率余弦信号 (以及可能的直流分量) 的和： $$f(t)=F_0+\sum _{k=1}^N|F_k|\cos ({\omega }_{k}t+\mathrm{\angle }{F}_k)$$ (其中 $F_0$ 是直流分量，即频率 $\omega =0$ 的分量 )
• 那么系统的稳态输出是每个频率分量单独响应的叠加： $$y(t)=H(0)F_0+\sum _{k=1}^N|F_k||H({\omega }_k)|\cos ({\omega }_{k}t+\mathrm{\angle }{F}_k+\mathrm{\angle }H({\omega }_k))$$
• 计算步骤:
  1. 将输入信号分解为直流分量和各次谐波分量 (或不同频率的正弦/余弦分量)。
  2. 计算系统在每个频率 ($\omega =0,{\omega }_1,{\omega }_2,\dots$) 处的频率响应值 $H(0),H({\omega }_1),H({\omega }_2),\dots$。

  3. 对每个输入分量，根据 $y_k(t) =

     F_k

     H(\omega_k)

  4. 将所有输出分量相加得到最终的总输出 $y(t)$。

• 技术比喻: 这就像一个音响系统的均衡器 (Equalizer)。输入的音乐包含各种频率的声音。均衡器 ($H(\omega )$) 对不同频率（如低音 Bass ${\omega }_{low}$、中音 Mid ${\omega }_{mid}$、高音 Treble ${\omega }_{high}$）有不同的增益 ($

  H(\omega)

  $)\mathrm{和}\mathrm{相}\mathrm{位}\mathrm{调}\mathrm{整}($\angle H(\omega)$)。输出的声音就是所有频率成分经过各自调整后叠加的结果。

Decibel Amplitude Response

分贝的转化

谐振和无损系统 (Resonant and Non-Dissipative Systems)

• 谐振 (Resonance): 指系统在某个特定频率 (谐振频率 ${\omega }_0$) 附近，其幅度响应 $

  H(\omega)

  $ 出现显著峰值的现象。这意味着系统对该频率的输入信号有特别强的响应。RLC 电路是典型的会发生谐振的电路。

• 无损系统 (Non-Dissipative Systems): 指不包含能量耗散元件 (如电阻 R) 的系统，例如理想的 LC 电路。对这类系统的分析可能需要不同的方法，或者说，使用 $H(\omega )$ 分析稳态响应时需要特别注意（例如，理想 LC 电路在谐振频率驱动下，理论上响应会无限增大，这在物理上不可持续，通常需要考虑初始条件或微小的损耗）。本章主要关注包含耗散元件的系统，其稳态响应是明确的。

[!warning] 注意对于无损系统不能采用上述计算Frequency Response的方法直接计算（因为对于有界的输入可能产生无界的输出）