#ECE210

Phasors, Co-Sinusoids, and Impedance

Phasors and co-sinusoids

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相关参数

  • Amplitude 振幅 F
  • Phase 相位: $\omega t+\theta$
  • Phase shift： $\theta= \angle F$
  • Radian frequency 角频率: $\omega$

$$ F = Ae^{j\theta} $$

sin 信号的相位与 cos 信号的相位转换

$$ |F|\sin(\omega t+\phi) = |F|\cos \left( \omega t+\phi- \frac{\pi}{2} \right) $$

即

$$ |F|e^{j(\phi-\pi/2)} = -j |F|e^{j\phi} $$

直接将 sin 对应的相位减去 $\frac{\pi}{2}$ 即可得到对应的 cos 相位

所有输入的角频率相同的正余弦信号都可以简化为如下通式:

$$ \mathrm{Re}{Fe^{j\omega t}} $$

Superposition and derivatives of co-sinusoids

  • 线性和
    直接做正常的复数加法即可，实部加实部，虚部加虚部

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  • Derivative Principle
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    Example：直接根据结果猜测可能的角频率并转化未相位的计算

$$ \frac{df}{dt} +4f(t) = 2\cos(4t) $$

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V-I Phase Relation

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Impedance and phasor method

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一般步骤

  • 将电路中的电容电感元件换为对应的阻抗元件，其中角频率由电源决定
  • 根据 KCL,KVL 列方程
  • 将解得的相位结果转化为 sin cos

Sinusoidal Steady-State Analysis

Impedance combinations and voltage and current division

Imepedance Combinations->原来的串并联规律依然适用,对复数也适用

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分压与分流 ->也遵循原来的规律
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Source Transformation and Superposition Method

对于电压电流的稳态，我们依然有:

$$ V_{s} = Z_{s}I_{s} \equiv I_{s} = \frac{V_{s}}{Z_{s}} $$

我们可以用下图展示例子中的转化等效过程:
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注意计算电路中的总电压总电流时 ->对于 independent sources 我们可以直接单独关注其对整体电路的影响

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Tip

注意区分 Steady State Response, Transient State Respone, Zero-input Response, Zero-state Response
[[ Circuits for Signal Processing#Response Summary ]]
一些可以考虑的小技巧
1. 基本关系

总响应 = Zero-State Response + Zero-Input Response (线性系统)
总响应 = Transient Response + Steady-State Response (线性系统)

2. 计算
steady-state: 即为微分方程的特解，可以通过 phase 求解
zero-state: 考虑初始电压或电流为 0 代入初值，然后通过给 steady state 加上一个待定系数的衰减指数函数求解
zero-input：直接根据电路结构计算时间常数即可
transient-state: 计算出总相应后直接减去 steady-state

Average and Available Power

对于处于 sinusoidal steady-state 状态下的电路，其中每个元件所吸收的能量为:

$$ p(t) = v(t)i(t) $$

但此为瞬时能量，净吸收的能量我们用瞬时能量在时间周期内的均值来计算。

$$ P = \frac{1}{T} \int_{t=0}^{T}v(t)i(t)dt $$

Average Power - Phasor

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$$ P = \frac{1}{2}\mathrm{Re}{VI^{*}} $$

对于纯电阻电路

$$ P = \frac{1}{2}\mathrm{Re}{RII^{*}} = \frac{R|I|^{2}}{2} = \frac{|V|^{2}}{2R} $$

或者

$$ P = RI_{rms}^{2} = \frac{V^{2}_{rms}}{R} $$

对于电阻与电感 ->平均功率为 0
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Available Power and Maximum Power Transfer

我们关注一个线性、sinusoidal steady state 网络能给外界负载传递多少能量
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经过化简，我们可以得出，当外界负载满足：

$$ \begin{align} & X_{L} = -X_{T}
& R_{L} = R_{T} \end{align} $$

电路传递给负载的功率有最大值 (即 $Z_{L} =Z_{T}^{*}$)
此时

$$ P_{a} = \frac{|V_{T}|^{2}}{8R_{T}} $$

Resonance

1. Non-dissipative elements->不需要外界电源也能通过共振维持稳态
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$$ \left( j\omega L + \frac{1}{j\omega C} \right)I = 0 $$

由此得出

$$ \begin{align} & \omega = \frac{1}{\sqrt{ LC }} =\omega_{0}
& i(t) = \mathrm{Re}{Ie^{j\omega_{0}t}} = |I|\cos(\omega_{0}t+\theta)
& v(t) = \mathrm{Re}\left{ \frac{I}{j\omega_{0}C}e^{j\omega_{0}t} \right} = \frac{|I|}{\omega_{0}C}\sin(\omega_{0}+\theta) \end{align} $$

2. Dissipative Elements->需要外界电源

对于 RLC 电路，当处于共振状态下 ( $\omega_{0} =\frac{1}{\sqrt{ LC }}$ ), 电阻与电感的等效电阻为 0，此时可以等效为短路，对于外界电压响应的电流最大或者对于外界电流相应的电压最大

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