PHYS214汇总
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Midterm 1
1. 简谐波
简谐波：
$$ y(x,t) = A\cos(kx-\omega t+\phi) $$
基本参数与转化：
$$
\begin{align}
& k = \frac{2\pi}{\lambda} \text{ 描述波在空间上重复的速率}
& \omega = 2\pi f
& T = \frac{1}{f}
& v = \frac{\omega}{k} = \lambda f (描述波传递的速率，波长除以周期)
\end{align}
$$
振幅与光强：
2. 波的叠加与相位图
- 同振幅同波长
- 波的叠加：
$$
\begin{align}
& y_{1}(x,t) = A\cos(kx-\omega t+\phi_{1})
& y_{2}(x,t) = A\cos(kx-\omega t+\phi_{2})
& y_{total}(x,t) = y_{1}(x,t) + y_{2}(x,t) = 2A\cos\left( \frac{\phi_{1}-\phi_{2}}{2} \right)\cos\left( kx-\omega t+\left( \frac{\phi_{1}+\phi_{2}}{2} \right) \right)
\end{align}
$$
核心影响因素为相位差：波程差 + 初相位差
- 波程差导致： $k\Delta x = \frac{2\pi}{\lambda}\Delta x$
- 初相位差： $\phi_{1}-\phi_{2}$
- 相量图
核心为考虑复数在二维空间中的叠加（正交或余弦均可）
对于振幅为 $A_{1},A_{2}$, 相位差为 $\phi$ 的波的叠加
$$ I = \frac{1}{2}A^{2} = \frac{1}{2}(A_{1}^{2}+A_{2}^{2}- 2A_{1}A_{2}\cos(\pi-\phi)) = I_{1}+ I_{2}- 2\sqrt{ I_{1}I_{2} }\cos(\pi - \phi) $$
3. 双缝干涉
干涉考虑相位差的来源：
- 波程差： $\Delta x = d\sin \theta_{m}$ ， $d$ 为两缝间距
当光程差为波长的整数倍时发生相长干涉；为 $\frac{1}{2}$ 个波长加整数时为相消干涉
相长干涉:
$$ \Delta x = m\lambda $$
相消干涉：
$$ \Delta x = \left( m+\frac{1}{2} \right) \lambda $$
各个峰或谷的位置: $y = L\tan \theta$
经过近似可以推导得到各个相长干涉的位置：
$$ y_{m} = m \frac{L\lambda}{d} $$
4. 单缝衍射
将狭缝中的每一个点均视为波源
相消衍射 ->各波源矢量分布在完整的圆上
先考虑使光强为 0 的角度 $\theta_{0}$ ，确定光斑大小
- 考虑将宽度为 a 单缝建模为由 N 个点光源组成，其中点光源之间的间距为 $d=\frac{a}{N}$ , 考虑 $N\to \infty$ 的情况
- 然后计算相消干涉 ->即所有的向量相加和为 0->这些向量均匀排布在单位圆上
- 相邻两者相差相位为 $\frac{2\pi m}{N}$
$$ k(r_{2}-r_{1}) = \frac{2\pi m}{N} $$
其中 $r_{2}-r_{1}=\frac{a}{N}\sin \theta_{0}$,推出
$$ a\sin \theta_{0} = m\lambda $$
则
$$ y_{0} = L\tan \theta_{0} $$
相长干涉 ->各波源矢量叠加后为圆的直径
$$ a\sin \theta_{0} = \left( m+\frac{1}{2} \right)\lambda $$
光强推导： $\beta = \frac{\phi}{2}$
$$ I = I_{0} (\frac{\sin \beta}{\beta})^{2} $$
5. 圆孔衍射
推导过程与单缝类似，对于直径为 $D$ 的圆孔，需满足的条件为
$$ D\sin \theta_{0} = 1.22\lambda $$
6. 干涉仪
核心即为波程差为一边移动距离的两倍
$$ \Delta r = 2(L_{1}-L_{2}) $$
7. 天文望远镜
一般思路：
- 利用星体之间的距离 + 星体到望远镜距离 -> 确定两星体之间的分割角
- 利用圆孔衍射确定产生的衍射光斑的大小，要求衍射光斑不影响各自成像
注意题目特殊要求 - 透镜直径是否受其他条件限制
8. 光子
- 光子的能量
$$ E=hf $$
- 光子的动量
$$ p = \frac{h}{\lambda} $$
使电子挣脱金属束缚溢出 ->需达到 threshold
$$ E_{initial} = hf -\Phi \text{ 其中 }\Phi\text{ 为工作函数} $$
$\Phi$ 表征材料内部电子的势能
$$ E_{final} = KE_{electron} $$
Midterm2
1. 波函数与概率密度
我们将粒子的状态用波函数描述，波函数是一个特定时间下关于位置的函数，其值为复数
$$ \rho(x) = |\Phi(x)|^{2} = \Phi ^{*}(x)\Phi(x) $$
当位置 $a<x<b$ 时，根据上述由波函数推导出的概率函数我们有
$$ P(a<x<b) = \int_{a}^{b}\rho(x)dx = \int_{a}^{b}\Phi ^{*}(x)\Phi(x)dx $$
在给定的时间下，粒子出现在任何位置的概率均由 wave function 决定
分布的平均位置 ->考虑概率分布函数的期望
波函数的基本性质 ->归一化条件
$$
\int_{-\infty}^{\infty} \Phi ^{*}(x)\Phi(x) \ dx = 1
$$
波函数正交
$$ \int \Psi_{n}(x)\Psi_{m}^{*}(x) = \delta_{nm} $$
当且仅当 $n = m$ 时, $\delta_{nm}=1$ 其余均为 0
de Brogile wavelength: 德布罗意波长公式
wavefunction 中的 $k$ 与栋梁有如下关系
$$
\begin{align}
& p = \frac{h}{\lambda}
& k =\frac{2\pi}{\lambda}
\end{align}
$$
注意德布罗意波长公式与能量的结合
$$ E = \frac{p^{2}}{2m} = \frac{h^{2}}{2m\lambda ^{2}} $$
2. 动量确定的自由粒子
对于动量确定的粒子，我们用平面波来描述其状态
- 波函数方程
$$
\begin{align}
& \Psi(x,t) = Ae^{i(kx-\omega t)} = Ae^{i(px-Et)/ \tilde{h}}
& k = \frac{p}{\hbar}, \omega = \frac{E}{\hbar}
\end{align}
$$
此时其位置在空间中具有一定的概率，我们无法确定其具体位置
$$ \rho(x) = |\Psi(x)|^{2} = |A|^{2} $$
- 能量本征态
$$ E_k = \frac{p_k^2}{2m} = \frac{\hbar^2 k^2}{2m} $$
- 多确定动量波函数的线性叠加
对于由多确定动量的波函数线性叠加形成的波函数，其观测到的动量并不处于本征态，观测到动量的概率由其线性系数（可为复数）决定
[!tip]
如果波函数公式只出现 sin 或者 cos,记得用欧拉公式进行分解 ->转为动量确定的波函数方程的线性和，且以上线性系数可为复数
3. 薛定谔方程与海森堡不确定原理
-
海森堡不确定原理
海森堡不确定性原理指出：在量子力学中，动量和位置无法同时被精确测量。其数学表达式为：
$$ \Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{\hbar}{2} $$
- 时间无关的薛定谔方程
动量算子为:
$$ -i \hbar \frac{\partial}{\partial x} $$
当波函数满足能量本征态时，我们有：
$$ -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2 \Psi(x)}{dx^2} + U(x)\Psi(x) = E\Psi(x) $$
其中，$U(x)$ 是外部势能，而 $-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2 \Psi(x)}{dx^2}$ 是动量运算的平方，除以 $2m$。这类似于经典力学中将能量写为 $\frac{p^2}{2m} + U$。
4. 无限深势阱与有限深势阱
A.无限深势阱
无限深势阱描述了一个粒子被限制在一个一维空间区域内（通常是 0 到 L），这个区域之外的势能是无限大。这意味着粒子绝对不可能存在于这个区域之外。
- 波函数方程
$$
\Psi(x) = \begin{cases}
A \sin(\frac{n\pi x}{L}) & \text{如果 } 0 < x < L
0 & \text{否则}
\end{cases}
$$
其中 n 为整数，通过归一化有 $A = \sqrt{ \frac{2}{L} }$
- 能量本征态
$$ E_n = \frac{\hbar^2 \pi^2 n^2}{2mL^2}
$$
能级之间能量不连续，且间距逐渐增大
[!tip] 注意
无限深势阱对应的电子激发问题一般先考虑基态
B.有限深势阱
有限深势阱与无限深势阱类似，也描述了一个粒子被限制在一个区域内。但是，这个区域之外的势能不是无限大，而是一个有限的值，通常记为 V₀。
- 势能方程
$$
\begin{align}
& U(x) = 0, -\frac{L}{2}< x< \frac{L}{2}
& U(x) = U_{0}, x\leq-\frac{L}{2} \text{ or } x \geq \frac{L}{2}
\end{align}
$$
注意此时边界条件为波函数与波函数的导数在边界处必须连续
- 波函数方程
内部通解为:
$$ \Psi(x) = A\sin(kx) + B\cos(kx) $$
外部通解为：
$$ \Psi(x) = Ce^{ax} + De^{-ax} $$