#Math285

引言 (Introduction)

我们已经学习了一些求解特定类型微分方程的方法，例如一阶线性方程、变量分离方程以及常系数线性方程等。然而，许多重要的微分方程，特别是那些来源于物理和工程问题的方程 (例如带有非恒定系数的二阶线性方程)，不能用这些初等方法求解。

本部分的核心目标是引入一种强大的分析工具——幂级数 (Power Series)，来寻找更广泛类型的微分方程的解，特别是解析解 (Analytic Solutions)。

我们将首先回顾幂级数和解析函数的基本性质，这是理解后续方法的基石。然后，我们将重点讨论如何利用幂级数求解二阶线性 ODEs。我们会区分两种情况：在常点 (Ordinary Points) 附近求解和在正则奇点 (Regular Singular Points) 附近求解。后者将引出重要的 Frobenius 方法 (Method of Frobenius)。

幂级数与解析函数 (Power Series and Analytic Functions)

解析解的定义 (Definition of Analytic Solution)

一个标量 ODE 的解析解 (Analytic Solution) 或幂级数解 (Power Series Solution) 是指一个可以用幂级数表示的函数： $$ y(t) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n (t - t_0)^n, \quad t \in I $$ 其中 $I$ 是一个包含中心点 $t_0$ 且长度大于零的区间。

解析函数的存在唯一性定理 (Existence and Uniqueness Theorem - Analytic Version)

Example

示例：求解 IVP $y’ = x^2 + y^2, y(0) = 1$

(对应 Slides 7-9)

这是一个非线性 ODE，但右侧 $f(x,y) = x^2 + y^2$ 是关于 $x$ 和 $y$ 的多项式，因此是解析函数。定理保证解在 $x=0$ 附近是解析的。

示例：求解 $y’ = y^2$

示例：两个类 Euler 方程

(对应 Slides 12-13)

解析函数的性质 (Properties of Analytic Functions)

定义再述与复/实关系 (Definition Revisited & Complex/Real Relation)

收敛半径 (Radius of Convergence)

核心：利用Hadamard公式计算全纯函数的收敛半径

微分与泰勒级数 (Differentiation and Taylor Series)

改变中心点 (Expansion with Different Center)

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可视化如下->我们直接考虑在新点展开对应的收敛半径必须满足的要求

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双重级数 (Double Series)(Optional)

基本概念与 Fubini 定理 (Basic Concept and Fubini’s Theorem)

示例 (Example)

双重级数和的严格定义 (Rigorous Definition of the Sum)

现代定义的推论与性质 (Consequences and Properties)

这个现代定义适用于任何（可数）索引集 $I$ 上的求和 $\sum_{i \in I} a_i$。对于双重级数，索引集 $I = \mathbb{N} \times \mathbb{N}$。

Fubini 定理再解释 (Fubini Explained via Partitioning)

系数比较 / 恒等定理 (Equating Coefficients / Identity Theorem)

代数运算 (Algebraic Operations)

零点和极点 (Zeros and Poles)

高级性质 (复分析结果) (Advanced Properties)

二阶线性 ODE 的级数解 (Series Solutions of 2nd-Order Linear ODE’s)

现在我们将前面关于幂级数和解析函数的知识应用于求解二阶线性 ODE $P(x)y’’ + Q(x)y’ + R(x)y = 0$ (或非齐次的 $P(x)y’’ + Q(x)y’ + R(x)y = S(x)$)，其中 $P, Q, R, S$ 是解析函数。

常点和奇点 (Ordinary and Singular Points)

Frobenius Method 递推关系求解

为简化起见，我们假设奇点在 $x_0=0$。微分方程的形式为： $$ x^2 y’’ + x (xp(x)) y’ + (x^2q(x)) y = 0 $$ 其中：

解的导数是：

现在，我们将这些代入微分方程的各个部分：

  1. 第一项: $x^2 y’’$ $$ x^2 y’’ = x^2 \sum_{j=0}^{\infty} (j+r)(j+r-1) a_j x^{j+r-2} = \sum_{j=0}^{\infty} (j+r)(j+r-1) a_j x^{j+r} $$

  2. 第二项: $x (xp(x)) y’ = x f(x) y’$ $$ x f(x) y’ = x \left( \sum_{k=0}^{\infty} p_k x^k \right) \left( \sum_{j=0}^{\infty} (j+r) a_j x^{j+r-1} \right) $$ 首先，我们计算乘积 $f(x) y’$。这是两个幂级数的柯西乘积 (Cauchy product)。 这个乘积中一般项的 $x$ 的幂次是 $x^k \cdot x^{j+r-1} = x^{k+j+r-1}$。 所以，$f(x) y’ = \sum_{m=0}^{\infty} \left( \sum_{k=0}^{m} p_k \cdot ((m-k)+r) a_{m-k} \right) x^{m+r-1}$。 (这里，$m = k+j$，所以 $j = m-k$。来自 $y’$ 的系数是 $(j+r)a_j = ((m-k)+r)a_{m-k}$。) 然后，再乘以 $x$： $$ x f(x) y’ = \sum_{m=0}^{\infty} \left( \sum_{k=0}^{m} p_k (m-k+r) a_{m-k} \right) x^{m+r} $$

  3. 第三项: $(x^2q(x)) y = g(x) y$ $$ g(x) y = \left( \sum_{k=0}^{\infty} q_k x^k \right) \left( \sum_{j=0}^{\infty} a_j x^{j+r} \right) $$ 这是另一个柯西乘积。一般项的 $x$ 的幂次是 $x^k \cdot x^{j+r} = x^{k+j+r}$。 $$ g(x) y = \sum_{m=0}^{\infty} \left( \sum_{k=0}^{m} q_k a_{m-k} \right) x^{m+r} $$ (这里，$m = k+j$，所以 $j = m-k$。来自 $y$ 的系数是 $a_j = a_{m-k}$。)

合并各项并令系数为零

微分方程指出这三项之和为零： $$ \sum_{j=0}^{\infty} (j+r)(j+r-1) a_j x^{j+r} + \sum_{m=0}^{\infty} \left( \sum_{k=0}^{m} p_k (m-k+r) a_{m-k} \right) x^{m+r} + \sum_{m=0}^{\infty} \left( \sum_{k=0}^{m} q_k a_{m-k} \right) x^{m+r} = 0 $$ 为了使这个等式对收敛区间内的所有 $x$ 都成立， $x$ 的每一项幂次的系数都必须为零。我们来看 $x^{N+r}$ (对于某个整数 $N \ge 0$) 的系数。为此，我们在第一个和中令 $j=N$，在第二个和第三个和中令 $m=N$。

$x^{N+r}$ 的系数是： $$ (N+r)(N+r-1)a_N + \left( \sum_{k=0}^{N} p_k (N-k+r) a_{N-k} \right) + \left( \sum_{k=0}^{N} q_k a_{N-k} \right) = 0 $$ 现在，我们想把包含 $a_N$ 的项分离出来，并将其余的项 (它们将包含 $a_0, a_1, \dots, a_{N-1}$) 组合在一起。

我们展开这些和式： 在 $\sum_{k=0}^{N} p_k (N-k+r) a_{N-k}$ 中，包含 $a_N$ 的项发生在 $k=0$ 时： $p_0 (N-0+r) a_{N-0} = p_0 (N+r) a_N$。 在 $\sum_{k=0}^{N} q_k a_{N-k}$ 中，包含 $a_N$ 的项发生在 $k=0$ 时： $q_0 a_{N-0} = q_0 a_N$。

所以，我们可以把所有包含 $a_N$ 的项提出来： $$ \left[ (N+r)(N+r-1) + p_0(N+r) + q_0 \right] a_N $$ 方括号中的表达式正是 $F(N+r)$，其中 $F(s) = s(s-1) + p_0 s + q_0$ 是指标多项式。 因此，包含 $a_N$ 的项合起来就是 $F(N+r)a_N$。

和式中剩下的项包含 $a_{N-k}$，其中 $k$ 从 $1$ 到 $N$。

将这些合并起来，$x^{N+r}$ 的系数方程变为： $$ F(N+r)a_N + \sum_{j’=0}^{N-1} p_{N-j’} (j’+r) a_{j’} + \sum_{j’=0}^{N-1} q_{N-j’} a_{j’} = 0 $$ 我们可以合并后两个和式： $$ F(N+r)a_N + \sum_{j’=0}^{N-1} \left[ p_{N-j’} (j’+r) + q_{N-j’} \right] a_{j’} = 0 $$ 最后，解出 $F(N+r)a_N$： $$ F(N+r)a_N = - \sum_{j’=0}^{N-1} \left[ (j’+r)p_{N-j’} + q_{N-j’} \right] a_{j’} $$ 这就是递推关系。如果我们将求和下标 $j’$ 替换回更常用的 $k$，就得到： $$ F(N+r)a_N = - \sum_{k=0}^{N-1} \left[ (k+r)p_{N-k} + q_{N-k} \right] a_k $$ 这个公式对 $N \ge 1$ 成立。

检验 $N=0$ 的情况 (指标方程): 当 $N=0$ 时，和式 $\sum_{k=0}^{-1}$ 是一个空和，定义为 0。 所以，对于 $N=0$，方程是 $F(0+r)a_0 = 0 \implies F(r)a_0 = 0$。 由于我们假设 $a_0 \neq 0$ (否则我们会得到一个平凡解，或者解实际上对应于一个更高次幂的 $r$)，这迫使 $F(r)=0$，这确实就是指标方程。

所以，对于 $n \ge 1$，完整的递推关系是： $$ F(r+n)a_n = - \sum_{k=0}^{n-1} \left[ (k+r)p_{n-k} + q_{n-k} \right] a_k $$ 这个关系式允许我们在已知 $a_0, a_1, \dots, a_{n-1}$ 的情况下计算出 $a_n$，前提是 $F(r+n) \neq 0$。而 $r$ 的值是从指标方程 $F(r)=0$ 的根中选取的。

初值选择 一般我们设定 $a_{0}=1$ （或者其他任意非0常数，但是1是标准做法）

解析情况：常点附近的解 (The Analytic Case: Solutions near an Ordinary Point)

(对应 Slides 57-75)

tip 收敛半径 $\rho$ 可由级数 $p(x),q(x)$ 在 $x_{0}$ 处的各自收敛半径的最小值确定

正则奇点情况：Frobenius 方法 (The Case of a Regular Singular Point: The Method of Frobenius)

当 $x_0$ 是正则奇点时，解通常不再是标准的幂级数，可能包含对数项或形如 $(x-x_0)^r$ 的因子，其中 $r$ 不是整数。