Overview

我们集中讨论形式如下的 n 阶线性常系数 ODE：

$$ a_n y^{(n)} + a_{n-1} y^{(n-1)} + \dots + a_1 y’ + a_0 y = b(t) $$

其中 $a_n, \dots, a_0$ 是常数 ($a_n \neq 0$)，而右侧的 $b(t)$ 可以是 $0$ (齐次情况 homogeneous case) 或非零函数 (非齐次情况 inhomogeneous case)。

我们将看到，这类方程的求解与线性代数中的概念，特别是特征值/特征向量 (eigenvalues/eigenvectors)，以及离散数学中的线性递推关系 (linear recurrence relations) 有着深刻且有趣的联系。

Preliminaries

Analogy with Linear Recurrence Relations

与线性递推关系的类比

这是一个非常重要的视角，有助于理解常系数 ODE 解法的来源。

Homogeneous Case

1. 定义

我们关注的是形如下式的 n 阶微分方程：

$$ a_n y^{(n)} + a_{n-1} y^{(n-1)} + \dots + a_1 y’ + a_0 y = 0 $$

其中：

我们可以使用微分算子 $D = \frac{d}{dt}$ 将方程简写为：

$$ (a_n D^n + a_{n-1} D^{n-1} + \dots + a_1 D + a_0) y = 0 $$

或者更简洁地写作 $a(D)y = 0$，其中 $a(X) = a_n X^n + \dots + a_0$ 是一个与微分方程相关的多项式，我们马上会看到它的重要性。通常，我们会将方程两边同除以 $a_n$，使最高阶导数的系数为 1 (monic form)，但这不影响解的基本结构。

2. 核心思想：尝试指数解 (The Key Idea: Trying Exponential Solutions)

受到解线性递推关系 (如 Fibonacci 数列) 时尝试 $y_i = r^i$ 的启发，我们尝试求解齐次 ODE 时也使用类似形式的解：

$$ y(t) = e^{rt} $$

其中 $r$ 是一个待定的常数 (可能是复数)。

我们将 $y(t) = e^{rt}$ 代入齐次 ODE $a(D)y=0$ 中。因为 $D^k (e^{rt}) = r^k e^{rt}$，我们得到：

$$ a_n (r^n e^{rt}) + a_{n-1} (r^{n-1} e^{rt}) + \dots + a_1 (r e^{rt}) + a_0 (e^{rt}) = 0 $$

提取公因子 $e^{rt}$ (它永远不为 0)，得到：

$$ (a_n r^n + a_{n-1} r^{n-1} + \dots + a_1 r + a_0) e^{rt} = 0 $$

这意味着 $y(t) = e^{rt}$ 是 ODE 的一个解，当且仅当 $r$ 满足以下代数方程：

$$ a_n r^n + a_{n-1} r^{n-1} + \dots + a_1 r + a_0 = 0 $$

3. 特征方程与特征多项式 (Characteristic Equation and Polynomial)

重要联系: 求解齐次线性常系数 ODE 的关键，转化为了求解其对应的代数特征方程 $a(r)=0$。

4. 构建通解：基本解组 (Constructing the General Solution: Fundamental System)

根据代数基本定理 (Fundamental Theorem of Algebra)， $n$ 次多项式 $a(X)$ 在复数域 $\mathbb{C}$ 中恰好有 $n$ 个根 (计入重数)。这些根 $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ (可能是复数，也可能重复) 决定了 ODE 解的基本形式。

齐次线性 ODE 的解构成一个 $n$ 维向量空间 (Slide 5, 31)。我们需要找到这个空间的 一组基 (a basis)，这组基被称为 基本解组 (fundamental system of solutions)。它由 $n$ 个 线性无关 (linearly independent) 的解构成。

通解 (general solution) 就是这个基本解组中所有解的线性组合：

$$ y_h(t) = c_1 y_1(t) + c_2 y_2(t) + \dots + c_n y_n(t) $$

其中 $y_1, \dots, y_n$ 是基本解组中的 $n$ 个解，$c_1, \dots, c_n$ 是任意常数。

如何根据特征方程的根构建基本解组？ (核心方法)

设特征多项式 $a(X)$ 在复数域上的分解为 (Slide 31):

$$ a(X) = a_n \prod_{i=1}^{r} (X - \lambda_i)^{m_i} $$

其中 $\lambda_1, \dots, \lambda_r$ 是 $a(X)$ 的 不同 的根 (distinct roots)，$m_i$ 是根 $\lambda_i$ 的 重数 (multiplicity)，且 $\sum_{i=1}^{r} m_i = n$ (总阶数)。

定理: 复解空间的一个基本解组由以下 $n$ 个函数构成：

$$ { t^j e^{\lambda_i t} \mid 1 \le i \le r, \quad 0 \le j \le m_i - 1 } $$

实际应用中，我们通常需要实数解 (Real Solutions): 假设 ODE 的系数 $a_i$ 都是实数。

Inhomogeneous Case

目标是求解形如下式的方程：

$$ a_n y^{(n)} + a_{n-1} y^{(n-1)} + \dots + a_1 y’ + a_0 y = b(t) $$

或者用算子表示为 $a(D)y = b(t)$，其中关键的区别在于右侧的 驱动项 (forcing term) $b(t)$ 不恒为零

General Theorem

1. 通解的结构 (Structure of the General Solution)

这是理解非齐次方程求解的核心原理。非齐次线性 ODE 的 通解 (general solution) $y(t)$ 由两部分组成：

$$ y(t) = y_h(t) + y_p(t) $$

其中：

为什么这个结构成立？
假设 $y_p$ 是一个特解 ($a(D)y_p = b(t)$)，而 $y$ 是方程的任意其他解 ($a(D)y = b(t)$)。考虑它们的差 $Y = y - y_p$。由于 $a(D)$ 是线性算子，我们有：
$a(D)Y = a(D)(y - y_p) = a(D)y - a(D)y_p = b(t) - b(t) = 0$。
这表明 $Y$ 必须是齐次方程 $a(D)y=0$ 的一个解。因此，任何解 $y$ 都可以写成 $y = Y + y_p$，其中 $Y$ 属于齐次解空间，即 $Y = y_h(t)$。

求解策略的核心: 既然 $y_h(t)$ 的求解方法已知，求解非齐次方程的关键就变成了如何找到 一个 特解 $y_p(t)$。

Solution

2. 寻找特解 $y_p(t)$：待定系数法 (Method of Undetermined Coefficients) 的推广

求解步骤 (按顺序执行)：

  1. 求解齐次方程 $a(D)y = 0$:
  2. 分析非齐次项 $b(t)$:
  3. 确定“检查数” $\lambda$ 和多项式次数 $k$:
  4. 检查共振 (Check for Resonance):

  5. 构建特解的猜测形式 (Construct the Ansatz - Slide 61):
    根据 $\lambda = \alpha + i\beta$, $k$, 和 $m$ 来确定对应的特解 $y_{pi}(t)$ 的形式。

  6. 组合与求解:

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这部分主要是提供一个更深层次、更统一的视角来理解我们之前分别讨论的常系数线性微分方程 (Linear ODEs with Constant Coefficients) 和常系数线性递推关系 (Linear Recurrence Relations with Constant Coefficients) 之间的深刻联系。这种联系是通过指数生成函数 (Exponential Generating Functions, EGF) 建立的。

1. 指数生成函数 (Exponential Generating Function - EGF)

2. 核心定理：微分算子 D 与移位算子 S 的联系 (Core Theorem: Linking Operator D and S)

这个定理是本部分的精华，它精确地描述了微分方程和递推关系之间的转换关系。